基本图形

朱清伟

摘 要：数学综合题好比一座大山，一堵高墙，让学生束手无策，如果能找到“登山攀墙”的扶梯，那么再复杂的问题也可以简化。这就要求教师在复习课教学中，利用一些有意义的例题，让学生解一题，会一类，通一片。例如在几何教学中，挖掘一批有意义的基本图形授予学生，那么对于同一类型的题目，学生就能做到驾轻就熟。

关键词：数学解题；基本图形；扶梯；架梯

波利亚有一句名言：“掌握数学就是意味着解题。”而在数学掌握的过程中，综合题好比一座难以逾越的山，一堵高不可攀的墙，让学生望而生畏。因而在数学复习教学中，教师除了梳理基本知识体系外，不能紧接着低效的泛泛解题，应善于以一些不太复杂而又有意义的题目为载体，挖掘其精华进行归纳授予学生，让学生达到学会一例，驾驭一批，如此便为学生找到了“登山攀墙”的扶梯。如在几何的教学中，总结出一批具有广泛的代表性和典型性的图形，我们称之为基本图形。学生若能掌握这些基本图形的本质，就会在解决一些较复杂的题中，辨认或构造该图，并择取有用的信息，迅速找到解题思路和方法，达到高效解题。下面笔者以“三垂足共线图”为例，浅淡它在数学解题中的扶梯之用。

一、扶梯原型

如图，在Rt△ABC中，AC=BC，直角顶点C在DE上，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，根据同角的余角相等，易证△ADC≌△CEB，继而得到全等三角形的对应边相等。

若去掉条件中的“AC=BC”，则可得△ADC∽△CEB，继而得到相似三角形的对应边成比例。

该图的基本特征为点D、点C、点E这三个垂足在同一直线上，即“三垂足共线”时，可推得直角三角形全等或相似，继而得出对应线段的数量关系。笔者把它作为一个基本图形，作为我们解决一些数学问题时的一架扶梯，那么即便是综合性较强的数学问题，我们也能直接扶此梯或间接架此梯而上。

二、扶梯直上

例1（2010·南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）。联结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y。

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若y=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

点拨：（1）由AB⊥CB，DC⊥BC，FE⊥ED，根据点B、E、C三垂足共线，清晰辨认基本图形，由△FBE∽△ECD，得到=，代入即可得到y=。

（2）要使△DEF为等腰三角形只需DE=EF，此时△BEF≌△CDE，则BE=CD=m，此时m=8-x，又根据=，解方程即可得m的值。

点评：本题存在的“三垂足共线图”这架扶梯较为明显，因为三个垂足同时存在且共线，因此结合条件仔细观察图形就能快速辨认，从而根据线段间的数量关系，使问题得以快速解决。可见解决这一类题目，一旦能识图并分离出基本图形，则扶梯直上不是问题。

三、架梯而上

1.浅处架梯

然而，在绝大多数的数学问题中，“三垂足共线图”的存在并非直接，具体往往表现在条件中三垂足的不完整，于是我们需要添一足或添两足成三垂足（添加的辅助线文中用虚线表示），如此架起基本图形这一扶梯，便可使结论得以应用。

例2 （2013·成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC。

（1）求证：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作，交直线于点Q，当点P与A、B两点不重合时，求的值。

点拨：（1）直接存在的A、B、C三垂足共线，证明△ABD≌△CEB可得AB=CE，AD=BC，将已知等式AC=AB+BC等量代换即可；

（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，

∴=，=；设AP=x，QH=y，则有=

∴BH=，PH=+5-x∴=，即（x-5）（3y-5x）=0

又∵P不与A、B重合，∴3y-5x=0∴===

两次应用相似三角形的对应边成比例是解决题（2）的关键，而第二次相似正是通过作垂线添一足成三垂足共线。

例3 （2013·浙江·舟山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-m）2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，联结AB，AC⊥AB，

交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，联结BD。

作AE∥x轴，DE∥y轴，求DE的长。

点拨：易证△AFC≌△AED得AF=AE，通过延长EA交y轴于点F，构造F、A、E三垂足共线，由△ABF∽△DAE得=，根据抛物线的解析式，用含字母的代数式表示比例式中的线段，代入化简即可求得DE=4。

例4 （2013·山东·威海）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y1=的图象经过点A，反比例函数y2=的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ）

A.m=-3n B.m=-n

C.m=-n D.m=n

点拨：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，添加垂足E、F则使E、O、F三垂足共线，由△BOE∽△OAF得，设点B的坐标为（a，），点A的坐标为（b，），结合两点坐标得出线段OE、BE、OF、AF的长度表达式，代入上述比例式即可求出m=-3n。

本题是反比例函数的综合，构造基本图形得出相似三角形的性质不可或缺。

点评：例2～例4这些背景下的“三垂足共线图”隐藏得并不深，大部分学生能够想到作垂线让完整的基本图形得以显现。尽管在例5的解题中需要添加两个垂足，但在平面直角坐标系中，向坐标轴作垂线学生很容易想到，因此扶梯的架起并不困难。

2.深处架梯

“三垂足共线图”不完整存在的例子比比皆是，而有些的存在却是极不明显的，需要我们搜索脑中已有的基本图形，并结合已知条件的特征摸索着去架梯，由此及彼使得结论得以活用。

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF，作AN⊥BC于点N，延长NA交EF于M点，求证：EM=MF。

点拨：若从结论出发采用分析法，基本毫无头绪，采用综合法从条件出发，试图探索其中的基本图形，不难发现在直线MN的左右两侧各有“三垂足共线”中的双垂足，因此我们可在两侧各添一足，如图作垂线便得到了两个基本图形，可得EP=AN=FQ，于是把条件靠向了△EPM和△FQM，再证这两个三角形全等即可。

例6 （2011·宁波）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x>0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为________.

点拨：如图虚线添加辅助线，根据基本图形及方程思想先求P2坐标，再用类似方法求得P3坐标。本题难度较大，关键在于三次对基本图形的构造再应用，为求曲线上的点坐标提供了线段相等的数量关系，从而可以列方程求解。通过对基本图形的特征研究，形成把函数问题转化为方程问题的思路，建立起了几何与代数的联系。

点评：例5～例6的难点在于需要多次架梯——对基本图形的结论一用再用，因此辅助线的添加较为复杂。然而善于观察，仔细剖析已知图形，就能确定添加辅助线的方向。只要明确已知条件是什么，确定解决问题还需要哪些，缺什么则补什么，如此便可柳暗花明。

尽管上述案例有些是熟题，但我们仍然能在2013年各地的中考题中追寻到它的影子，可见“三垂足共线图”这一扶梯在几何及代数解题中的重要性，倘若学生能将它“吃”透，那么再高不可攀的题型也能轻松架梯快速得以解决。

四、总评扶梯

1.扶梯的形成

“三垂足共线图”——三个直角顶点位于一线，如此简单的组合，构成了本文的扶梯。平时，学生熟悉的最基本的图形有点、线、角、三角形、四边形、扇形、圆等，而以此为基础，进行组合、变形、引申就会有一批新的具有代表性的基本图形出现。教学中，教师应有意识地进行归类总结，将一些重要的、常用的一般图形化为基本图形，并让学生历经基本图形的形成、证明以及应用。

2.扶梯的积累

把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在整个数学教学、学习的始终，有意识地强化对基本图形的巧用，不断地运用这些基本图形去分析问题，解决问题，这也是数学教学中所关注的目标。学生数学能力的培养，是一个长期的，不断积累经验与深化的过程，教学中教师也可尝试作一次次关于基本图形的旅程，让简单的图形丰富起来，而又不至于难以攀登。积累基本图形解决数学问题，犹如写作文前积累好词好句。

3.扶梯的意义

解决数学综合题的基本策略就是把它分解为一系列的基础题，从复杂的背景图中分解出一系列的基本图形，将问题易化。所以说，基本图形的应用贯穿于初中几何教学的各部分，也建立起几何与代数的联系，它可以成为解题教学中的易化通道。如果学生脑中有丰富的待用基本图形，那么只要轻松做参考，轻松做移植，解题思路便会豁然开朗，即便是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，依然可以顺利进入思路探求。

波利亚曾这样写道：“去设计并解出一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道，这是一个最富有特色的一类智力活动。”而基本图形就起到了这种通道、扶梯的妙用。

参考文献：

1.史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012，94-95.

2.蔡荣.浅谈基本图形在初中几何教学中的重要应用.2009.

3.钱卫华.基本图形在竞赛中的应用[J].中等数学，2011（06）.

（作者单位：浙江省江山市城北中学）