莫轻易放过错题

白瑾

摘 要：错题，特别是题目本身数据有问题的一类错题，是学生学习中的一笔宝贵财富。如果能够认真纠错并深入探究错题，学生的学习将会达到事半功倍的效果。从一道错题出发，对错题进行了深入的分析和探究，不仅弄清楚了错题的原因，而且还得到了直角三角形的周长与斜边之间的数量关系。

关键词：数学错题；转化思想；举一反三

很多学生在学习数学的过程中可能都会遇见一些题目本身就有问题的错题，而大多数人都会把错题扔在一边，不去理会。殊不知数学的学习一定要善于总结和拓展，善于发现错题，并进一步探究错题的原因，这样才能学有所用，举一反三，达到事半功倍的效果。

我们不妨来看这一道例题：已知直角三角形的周长为4+

4■，斜边长为4，则该直角三角形的面积是多少？

错解：设该直角三角形的两直角边分别为a和b，易知a+b= 4■，则：

易知：a2+b2+2ab=48①

又由勾股定理可知：a2+b2=16②

把②式代入①式可得：ab=16，

因此，该三角形面积为■ab=8

解析：学生对二元方程组理解不到位，从而算出了错误的答案。因为不存在实数a和b同时满足a+b=4■和a2+b2=16，也就是说周长为4+4■，斜边长为4的直角三角形不存在。直角三角形不存在，面积也就不存在了，因此这是一道错题。

很多同学发现了题目本身出错后就不去思考了，其實不然，如果能认真研究出错的原因，说不定你会有意外的惊喜。接下来我们探究：直角三角形周长为4+4■，斜边c为多少时，该直角三角形是存在的？

分析：我们先用特殊值法试一试，当c=5时，直角三角形是否存在？c=6呢？结果我们发现当c=5时，方程a+b=4■-1和方程a2+b2=25组成的方程组有解，即，此时直角三角形存在；但c=6时，方程组a+b=4■-2和a2+b2=36无解，即，此时直角三角形不存在。沿着上述思路，我们就把直角三角形的存在性问题转化成了二次方程的解的存在性问题了。

解：设该直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为4+4■-c-x，故：

由勾股定理可知：x2+（4+4■-c-x）2=c2

整理二次方程，并根据判别式法得到c2+2（4+4■）c-（4+ 4■）2≥0，解得c≥■或c≤■，∵c>0故有c≥■。

又根据三角形三边关系可知：x+（4+4■-c-x）>c，

解得c<■

综上所述，当直角三角形的周长为4+4■时，斜边c一定满足■≤c<■。

不仅如此，我们还能得到一个更一般的结论：若直角三角形的周长为m，其斜边长为c，则斜边c一定满足■≤c<■。

证明：设该直角三角形的一条直角边为n，则另一条直角边为m-c-n，从而：n2+（m-c-n）2=c2。整理上面关于n的一元二次方程，可得判别式Δ=c2+2mc-m2 ∵c2+2mc-m2≥0且c>0∴c≥■又∵n+（m-c-n）>c ∴c<■

综上所述：c满足■≤c<■，完成证明。

拓展练习：

1.已知O是平面直角坐标系的原点，点A、B分别是横轴正半轴、纵轴正半轴上的两个动点，且满足AO、BO、AB三条线段之和为16。

（1）若点P是线段AB的中点，A、B的运动过程中，线段OP有最小值，求出此时A、B的坐标及OP的最小值。

（2）若⊙M是△AOB的内切圆，在A、B的运动过程中，求⊙M的半径R的最大值。

2.已知直角三角形的斜边长为16，若直角三角形的周长为l，求l的取值范围。

（作者单位 广东省深圳市宝安区新湖中学）

？誗编辑 董慧红