试论利用数学模型将实际问题融入职中课堂

吴春红

【摘要】本文结合日益深化的教育改革，运用调查分析、文献等方法，说明了利用数学知识解决实际问题是数学应用的突破口，并阐述了其重要方法是数学建模，从而培养学生的实践精神和创新能力，把素质教育落到实处.

【关键词】数学建模； 数学应用； 职中教学

一 、由一组调查数据引发的思考

1.调查目的：通过调查，了解学生的数学应用意识.

2.调查方式：问卷式.

3.调查对象及范围：某职中二级学生100人及某大专院校学生100人（其中文科类50人，理科类50人）.

4.调查问卷及数据统计

问卷：

（1）数学对我专业课程的学习：A很有用 B比较有用 C用处不大 D没有用

（2）学习数学为了：A学习知识 B学习思想方法 C学习解题方法 D应付考试

（3）数学的作用是：A生活中有用 B各行业中有用 C思维训练中有用 D考试有用

（4）现实中使用数学的情况：A经常用 B一般 C很少用 D不用

（5）我对数学应用题：A很喜欢 B一般 C不喜欢 D讨厌

5.数据分析：从表中数据可以看出，职中与大专文科生对数学的应用意见大体上是相同的，而大专理科生通过对数学的深入学习，逐步认识到数学的重要性（注：大部分大专理科生认为数学有用是由于数学在计算机及科技发展中起决定性作用）.这种差异的形成，一方面是由于数学知识的教学与实际生活相脱离，职中教学教育中还没有将数学与实际相联系作为一种重要任务来抓，教学中依旧按照传统的方法注重理论知识和计算机能力；另一方面恐怕还是现行的教育制度的制约，教育观是由教育制度决定的，考试作为现行教育制度中唯一评价学生学习效果的标准，就必定会促使数学与现实生活的脱离.

6.问题的提出与展望：数学应用于实践，利用数学知识来解决实际问题，是否是职中数学教学教育改革的侧重点，这在教育界中观点并不统一.然而不可否认的是，近些年来的数学课程改革越来越注重将数学问题实际化，从另一个角度来说：数学应用备受注重，相应的，必定会引发对数学教学的反思及变化.

二、数学应用及其社会价值

数学的应用，一般指的是用数学的思想和方法寻求对科学事实和现实世界现象的认识和理解的过程，用数学知识去解决生产生活与学习中的各种实际问题的过程.我国著名的数学家华罗庚对数学的应用有着精彩的描述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的重要贡献.”

通过对生活、生产、实际问题应用的训练，可以不断提高职中学生数学素养，促使他们掌握扎实的数学知识和技能，并能利用数学知识去观察世界，处理和解决实际生活中遇到的各种问题，同时还能辅助其专业课程的学习，为专业发展服务.

近年来，社会对具备一定数学素养的综合性人才需求逐步提升，作为职业教育阶段数学教育，应当适应时代的要求，把数学应用教育放在数学教学的首要位置上，重视学生数学的实际应用能力的培养.

需要补充的是，职中数学教学中所强调的数学应用，就是让学生学会“用数学于现实世界”应当与“应用数学”相区分，让职中学生学会知识与实际问题相结合，建立巧妙多变的数学模型，轻松灵活地击破生产、生活中遇到的难题.

三、在教学中实现数学应用的手段

在教学中加强数学应用意识，需要不失时机地将实际生活中的各类问题引进数学课堂.因此，笔者认为可有以下的几种方法：

1.在课程设置方面增强灵活性和实用性

课程设置应注重时代、社会对学科的新要求，同时结合学生生活背景、地区的差异性，科学、系统地增加课程的灵活性和实用性.

2.开设数学实验课设计数学应用的环境

在数学课堂中结合实际问题培养学生的数学应用意识，训练学生把科技、社会等领域中的实际问题按照既定的目标归结为数学形式，以便于用数学方法求解得出更深刻的规律和属性，从而提高学生的数学素质.要更好地实现这种目标，就不能不考虑数学实验课.

3.给一些较纯粹的数学问题设计现实背景

对于一些纯粹的数学问题，可为其设计现实背景，增加课堂的趣味性，相应地挖掘学生的思维潜能，培养学生对数学知识的迁移.

实现以上几种方法的运用，在数学课堂上所应用的知识，不外乎都是数学建模，数学建模是联结现实问题与数学知识的重要桥梁.

四、数学建模的定义及过程

数学建模指的是以数学知识、方法和思想为基础，将生活实际的问题数学化，并对它求解和检验的活动.它的全过程是：实际问题—纯数学问题—数学问题的解是实际问题的解.由于这一过程体现了解决问题的真实性和全面性，因此是开展探究性学习的好题材，同时包含了合作学习、自主学习和探究性学习的诸多因素和作用.越来越多的国内外数学教育工作者认为：学生数学知识的掌握不全是由教师教出来的，而是由学生自己做出来的，数学建模正是这样一个学数学、用数学、做数学的过程，体现了学和用的统一.

五、几种实际问题的数学模型

例1 大小包装问题

在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2∶1.若牙刷的长度是3 cm，而每次刷牙的牙膏用量以长度与牙刷长度相等为准，请你对洁银牙膏作调查，看看选用哪种包装的牙膏最实惠（指每次刷牙时所用牙膏花费最少）.

提示 决定其花费的因素有：容量、价格、口径.

若调查之后收集的数据为：50 g装口直径为0.7，120 g装为1.0，请你对这个问题进行建模解答.

解 不妨设此牙膏的密度为a g/cm3（a>0）.

那么对于50 g包装的：1.5·0.722·3πa50=0.011025πa；

而对于120 g包装的：3.0·1.022·3πa120=0.01875πa.

由于0.01875πa>0.011025πa，所以使用50 g装的比较实惠.

例2 游戏中的数学

有1～K共13张纸牌，如何排列这13张纸牌使得按照如下方法抽取，其顺序恰好是1、2、3、…、K.方法：按一定顺序将这13张纸牌排列在桌面上，抽出第一张，将第二张放到最后，再抽出第三张，又将第四张放到最后……如此循环，直到全部牌被抽出为止.

分析 这个问题事实上可以转化为一个数学问题：在圆周上按一定顺序放置了1～K这13张牌，现要将这13张牌由小到大从圆周上除去，要求：除去第一张牌后，跳过一张未被除去的牌再除第二张牌，如此循环，直到全部牌从圆周上除去为止.

其流程图如下图所示：

图 1 图 2 图 3

第一圈删除的牌如图1所示，第二圈删除的牌如图2所示，第三圈删除的牌如图3所示，只需要跑遍圆周三圈就可以将13张牌全部删去.

通过这种数学知识的迁移，将这样一个有趣的现实中的游戏转化成为了我们容易解决的简单的数学问题.

例3 优化方案问题

三个家具商店购买办公桌：A需要30张，B需要50张，C需要45张.这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张.下表给出了工厂和商店的距离（单位：千米），假设每张每千米运费0.5元.寻求一个运送方案使运费最少.

f=0.5（10x1+5x2+30x3+7x4+20x5+5x6），求f的最小值.

由x1+x2+x3≤70，

x4+x5+x6≤80，

x1+x4=30，

x2+x5=50，

x3+x6=45，

xi≥0，i=1，2，3，4，5，6.

结合上面两式可得出：45≤x1+x2+x3≤70，

其中x1≤30，x2≤50，x3≤45.

于是函数f可化简为：

f=0.5（3x1-15x2+25x3+1435x6）.

显然当x2取得最大值50时，f可取最小值，且此时x1=x3=0，其最小值为f=0.5（-15×50+1435）=342.5.

代入验证此最小值是成立的.

六、结 语

数学建模进入职中课堂，顺应了时代的要求，作为职中数学教学的一个重要内容，其作用是不可衡量的，把这个内容作为一个重要任务来抓，是培养学生应用意识及创新精神的最有效途径.

【参考文献】

[1]张顺燕.数学的思想方法和应用[M].北京：北京大学出版社，1997.

[2]梁炼.数学建模[M].广州：华南理工大学出版社，2003.

[3]沈继红，等.数学建模 [M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998.

[4]胡炯涛.中学数学教学纵横谈[M].山东：山东教育出版社，1997.

[5]数学月刊[J].广州：华南师范大学出版社，2005（2）：9-11.

[6]中学生数学.北京：首都师范大学出版社， 2001（2）：18-22.