微积分教学中数学理论和哲学思想的联系

【摘要】数学与哲学是密切联系、相辅相成的.数学理论中蕴含了丰富的哲学思想，哲学思想又指导着数学理论的发展.研究哲学思想和数学理论的联系，是认识数学的需要，也是研究数学，发展数学的需要.以微积分为例，探讨微积分中丰富、典型、深刻的辩证法思想，用哲学思想来指导教学和学习，可以使学生站在较高的角度认识数学、理解数学，提高学生的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力.

【关键词】哲学；思想；微积分；理论；联系

一、 哲学与数学

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，哲学是研究客观世界的本质及规律的科学，是自然科学和社会科学的概括和总结，是理论化、系统化的世界观和方法论.

数学从量的角度分析问题，哲学从质的角度分析问题.质与量是表征事物基本规定性的哲学范畴，量是质的等级、规模、范围、排列次序和结构的表现，是事物可以由数和形来表示的规定性.事物是质与量的统一体，质的内容必须借助于一定的量来表现.数学是研究量的科学，通过量的分析，揭示事物的性质特征.哲学是人类思维的结晶和提炼，浩瀚星云，苍茫大地，芸芸众生，阴阳和谐，无一不在其视野中，无一不被其包罗收容.

数学和哲学具有共同的特点，即高度的抽象性、广泛的应用性和逻辑的严密性.

数学与哲学联系紧密、交相辉映、齐驱并进.数学中蕴含着哲学，并以其成果推动着人类哲学思想的发展，同时哲学作为世界观，为数学发展提供指导作用，哲学作为方法论，为数学提供认识工具和探索工具.

哲学与数学的关系源远流长，数学家B.Demollins说过：“没有数学，我们就无法看穿哲学的深度；没有哲学，人们也无法看穿数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透.”迪卡尔说：“哲学与数学的统一：美丽的梦.”

二、哲学家与数学家

纵观数学和哲学的发展历史可以看到，推动数学发展的巨匠往往是哲学家，又有好多哲学家精通数学.弗雷格说过：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家.”在他们眼里，数学与哲学是同宗同源的.

西方第一位哲学家古希腊的泰勒斯是希腊几何学的鼻祖.古希腊的毕达哥拉斯，发现了勾股定理，得出了“万物皆数”的著名哲学命题.柏拉图对严密定义和逻辑证明的坚持，促进了数学的科学化，他相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”.亚里士多德，是逻辑学的创始人，为几何学奠定了巩固的基础，他的公理化思想促进了几何学的诞生和发展.哲学家赫拉克利特提出的朴素的辩证法思想促进了数学的发展.笛卡儿于17世纪上半叶划时代地在数学中引进了变量概念和运动的观点，被誉为是“数学的转折点”，导致了微积分的诞生，进而推动了自然科学的发展.莱布尼茨创建了微积分，并发明了优越的微积分符号，他在哲学上是客观唯心主义者，“单子论”是他的著名哲学观点.哥白尼的日心说揭开了现代科学的序幕，支撑他信念的是毕达哥拉斯的数学化哲学：万物皆数，天体是永恒神圣的，必然按照最完美和最和谐的圆周做匀速运动.希尔伯特直言不讳，他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念.罗素从分析哲学的基本立场出发，坚持逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代的观点.

牛顿和莱布尼茨建立了微积分，找到了描述无限和运动的数学语言和方式.牛顿的微积分概念本身就是一种哲学观念，通过从几何切线、瞬时速度等直观问题的抽象提炼，牛顿完全从哲学高度把握住了无限小的零和非零的辩证关系.这是一种高屋建瓴的概括，入木三分的洞察.牛顿的思想是思辨哲学的高峰，不仅是在数学上发展了一种学说，形成一整套行之有效的算法，如极限、导数、微分、积分计算等，而且从哲学范畴上讲，无限变动问题借助于强有力的分析数学思想得以在有限的范围内表述.恩格斯把微积分的发明看成是人类精神的最高胜利，至今还没有其他一门学科能像数学那样精确辩证地处理运动和静止这对哲学范畴.进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了巅峰.

在我国历史上，数学成果往往带有一种哲学思辨的色彩，而哲学观点又借助于数学语言来表述.如惠施提出的“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，可以说是中国数学史上关于“无穷大”和“无穷小”这两个数学概念的最早表述，然而这一命题，却是为论证他“泛爱万物，天地一体”的哲学观.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，揭示了一个趋于无限的分数系列，是中国数学史上最早的极限概念的萌芽，但这一思想的提出，也是哲学思辨的产物.《周易》的整个体系是“生于数，积于数，成于数，变通于数”，提出了一种运用数学手段去范围天地、曲成万物的观点，鼓励人们去穷极数的变化规律，这对于以后传统数学的发展，也是有推动和促进作用的.《管子》可以称为古代数学与哲学相结合的范例，在他的一整套法家理论中，哲学和计算却是一个重要的部分和基本的原则.

哲学家芝诺于公元前5世纪提出了几个著名的悖论，加上无理数的发现，使人们对于数学能否成为一门科学产生了怀疑，这就是第一次数学危机；由于初期的微积分逻辑上的缺陷，围绕微积分基础开始了大论战，英国的唯心主义者大主教贝克莱的攻击最为激烈，数学家、哲学家都纷纷介入，引起了第二次数学危机；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，震动了整个数学界，引起了数学界、哲学界激烈的争论，为第三次数学危机.这三次数学危机，都和哲学家及其哲学思想相联系，伴随着哲学家、数学家之间激烈的论战，反映了尖锐的哲学思想斗争.

三、哲学思想与数学理论

哲学的观点决定了数学的思想，哲学思想指导着数学理论的发展.哲学以博大的胸怀容纳了数学的理论，数学以广泛而深奥的知识丰富了哲学宝库.

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，是唯物辩证法的最基本的规律.任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面，两者共处于矛盾的统一体中.运用对立统一规律，人们可以从有限认识无限，从部分认识整体，从近似认识精确.

在微积分中，有些概念既对立又统一，比如常量与变量、有限与无限、微分与积分等，可以说对立统一规律是贯穿于微积分的一条根本规律.极限概念是微积分的重要的概念，极限思想蕴含着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确以及否定与肯定的对立统一.如数列极限limn→∞an=aε>0，N>0，n>Nan-a<ε，其中正数ε一方面具有绝对的任意性，这样才能有an无限趋近于a，另一方面，正数ε又具有相对固定性，从而an-a<ε表明an无限趋近于a的渐近过程的不同阶段，ε的绝对任意性是通过无限多个相对固定性的ε表现出来的，ε的这个两重性质既对立又统一，从而使数列极限的ε-N定义，从近似转化到精确，又能从精确转化到近似，它是极限定义的精髓.极限是数学中体现哲学观点和方法的极具代表性的概念，它是人类从有限到无限认识上的一次飞跃，使我们充分认识到有限到无限的过程，近似与精确的关系.

微分和积分是矛盾的两个方面，是对立的，又是统一的，矛盾的双方各以对立的一方为自己存在的条件，牛顿—莱布尼兹公式∫baf（x）dx=F（x）ba，F′（x）=f（x），x∈[a，b]，又进一步揭示了积分与微分的内在联系，由此可见，这个基本公式是微分与积分对立统一关系的数学表达式，其内容是十分深刻的，被称为微积分的基本公式.

运动与静止之间的对立统一关系，在微积分中通过连续与离散间相互转化得到了淋漓尽致的揭示.数学是一门充满了对立统一规律的学科.对立统一规律是指导我们进行数学研究和数学教学的重要思想武器.

在唯物辩证法中，任何事物都是质和量的统一体.量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化.微积分中从一元函数到二元函数，由于自变量的一个增加到二个，这个量变引起了质变，首先表现在自变量的变化方式上，由原来的二种到现在的无穷多种更确切的说是不可数种，使得二元函数许多性质与一元函数有本质的不同.

否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对自身的否定，并再由否定进到新的肯定——否定之否定.每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律.在理论最初形成时，该理论得到肯定，随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定，进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一.任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面，唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中，揭示了事物发展是辩证否定的过程.微积分中无界、不连续、不一致连续等概念的定义都是通过对它的对立面有界、连续、一致连续的否定而得到的.

定积分的几何背景是曲边梯形的面积，按照化整为零（分割区间），以直代曲，求近似值，取极限的思想求出面积（积分），这种思想方法应用范围的推广便产生了无穷积分、瑕积分、多重积分、曲线积分、曲面积分.计算曲边梯形的面积，首先将原来曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，视曲边为直边，以直边梯形面积之和作为大曲边梯形面积近似，其次，分割无限加细，取极限，这样小直边梯形面积转化为大曲梯形面积，实现了“以曲代直”，这种方法是由曲到直再由直到曲，体现的哲学思想是由变到不变的否定之否定的辩证法思想，这样“化整为零，积零为整”的方法，是微积分最基本的思想方法之一.

微积分有着丰富、典型、深刻的辩证法思想，因此在微积分教学中，以哲学思想来指导教学和学习，可以使学生站在较高的角度认识数学、理解数学，提高学生的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力.

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