导数教学中几点创新

李志江

【摘要】本文指出了导数教学中的几个问题以及创新处理的方法.包括：求解瞬时速度的分析； 复合函数的分解与求导； 导数应用中的两个易错点； 导数应用的现实价值.以往对此问题的研究很少，本文通过分析得出了巧妙引入导数概念的方法、求导数的关键之处和导数学习中的易错点以及对策.

【关键词】微积分；瞬时速度；复合函数；导数

微积分教学是数学教学的难点之一，导数概念的学习一般被认为是比较简单的，因而无论是讲授还是学习的时候都容易掉以轻心.对于微积分的学习，极限思想是基本思想，导数概念是基本概念，掌握不好导数概念及其求解方法就无法学好导数的应用，而积分和求导数是逆运算的关系，不会求导去积分更是天方夜谭.结合多年的教学经验及学生本身的认知特点，本文主要给出导数教学中几个问题以及创新处理的方法.

一、概念引入时的矛盾论

导数概念的引入，一般教材都要利用牛顿提出的求变速直线运动在某一时刻的瞬时速度这个例子，即已知物体作变速直线运动，其运动方程为s=s（t） （s表示位移，t 表示时间），求物体在 t0 时刻的速度.根据在中学阶段学习的物理知识知道运动物体的速度等于位移除以时间即v=st，但是利用这个公式所求的速度是物体的平均速度，在目前阶段也只能求物体的平均速度.设该物体在时刻t0的位置是s（t0），在时刻t0 +Δt的位置是s（t0+Δt），则从t0 到 t0 +Δt这段时间内，物体的位移是Δs=s（t0+Δt） -s（t0），所以在时间段Δt=（t0+Δt）- t0内物体的平均速度为： v=ΔsΔt，然而求出平均速度并没有求出物体的瞬时速度.在这个地方实际上有个矛盾，一是我们可以看出来如果Δt这个时间增量越小即越接近于0那么平均速度就会越接近时刻t0的瞬时速度，二是平均速度的求解公式中Δt是分母不能等于0.这个矛盾的解决实际上体现了极限思想的优越性，即让Δt无限接近于0同时又不能其等于0的方法，就是让Δt趋近于0.因此对上述v求出当Δt时→0的极限，这个极限的结果就是运动物体在t0的瞬时速度vt0，而得到这个极限后再进一步分析，这个极限实际上是个函数增量与自变量增量比值的极限，也就是函数变化率的问题.对于这个引例的精心分析和细致讲解，一方面可以充分调动学生学习的积极性和进一步深化极限思想，另一方面对于学生掌握导数的定义有非常重要的作用.

二、复合函数的求导

导数这部分知识的学习，如何求解函数的导数是个重点内容，对于函数求导基本方法一般都认为有直接积分法（直接利用公式法）、四则运算法则、反函数求导法则和复合函数求导法则，对于一些特殊的函数还有隐函数求导法和对数求导法.函数求导的易错点和难点之一就是复合函数求导，例如对函数y=ln（x+1+x2）求导，这是一个常见的函数求导问题，其方法就是利用复合函数求导法则解决，但是学生在具体应用时候会出现各种各样的错误，比如有以下几种情况：

1.求出y′=1x+1+x2，出错的原因是没有进行复合函数求导，只是把y当作一个简单函数求导.

2.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2），出错的原因是在求解过程没有对1+x2求导.

3.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2）2x，其错误原因是求导过程混乱、思路不清晰.

综合以上几种情况下面给出解决问题的建议.

我们认为处理这类题目的关键是复合函数求导法则，即链式法则的运用，要掌握其基本方法和基本思路，那就是分解、求导、消去中间变量.当然这里面其实求导和消去中间变量难度较小，最容易出错和不好把握的反而是复合函数的分解，对于给了一个复合函数如何分解是很多学生头疼的问题，甚至很多老师在这个地方也容易说不清楚，很容易出现模棱两可的现象.其实在这个地方体现了对于复合函数分解 “度”的把握问题，将复合函数分解成的各个函数应该是基本初等函数或者是基本初等函数的和差积商，因此将上述函数分解为：y=lnu，u=x+v，v=w，w=1+x2，分解好了再去求导就直接利用公式即可，最后再消去中间变量.由此看来，复合函数求导的基本方法中关键不是求导了，反而是对于复合函数的正确分解.复合函数求导是求导数这一类问题中非常容易出错的点，特别是在初始阶段.如果真正地利用上述描述的这个步骤来操作，就能避免出现求导不到位或者求导过多的现象.

三、导数学习的现实价值

我曾经见到这样一道题目：一位汽车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速70公里/小时的收费道路上2小时内走了148公里，罚款单列出的违章理由是超速行驶，问收费亭做得是否正确并说明理由.估计很多学生都会对这个问题感兴趣，这是大家日常生活中比较常见的一个问题，但是一般还真不好回答这个问题，因为觉得收费亭肯定是正确的，可理由又说不出来.其实如果学习了导数并进一步研究它的应用，那么这个问题就很容易回答了.具体来说是这样的，学习完导数后一般教材在研究导数的应用时都要学习三个中值定理.其中有个Lagrange定，理其物理解释是：函数在[a，b]上的平均变化率等于在（a，b）内某个点处的瞬时变化率.我们通过对导数概念的学习已经知道速度就是位移对时间的变化率，瞬时速度就是瞬时变化率，所以对于该题目而言，汽车司机的平均变化率也就是平均速度是74公里/小时，而道路的限速是70公里/小时，所以肯定是超速了.运用导数有关知识去分析和解决类似这个题目的问题，是数学知识来源于生活又回到生活的典型范例，此类运用可以让枯燥的数学课堂生动起来.