利用数形结合方法解决数学问题

谷奎林

中职数学教学中，在学习关于“三次函数”的练习中以及考试中发现许多学生掌握得不好，通过和学生进行交流，知道几乎没有学生对这种题的图像进行过关注. 因此，在教学中发现许多关于导数的例题和习题若借助该例题的图像去讲、去分析，会让学生掌握得更容易. 于是我决定在复习中运用一节课的时间师生一起研讨三次函数的图像以及由图像得到三次函数的性质，让学生由三次函数图像“之美”感悟到学习“之乐”.

例题1 （2011年江苏19）已知a，b是实数，函数f（x） = x3 + ax，g（x） = x2 + bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x） ≥ 0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致.

（1）设a > 0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；

（2）设a < 0，且a ≠ b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a - b|的最大值.

这个题是我们曾经做过的江苏高考题，第（1）问基本上每名学生都会做，第（2）问许多学生看高考的标准答案——从代数角度将其转化为f′（x）g′（x） ≥ 0在区间（a，b）上恒成立感到有困难. 我们现在运用三次函数的图像和二次函数的图像再次探讨2011年江苏高考19题的第（2）问，也许能找到解决问题的突破口. 几分钟过去了，大部分学生正确作出了两个函数的草图，题意告诉我们两个函数在区间（a，b）上的单调性相同，又过了几分钟许多学生在共同的探讨中由图像得到了相应的不等式组.

借助图形，则能较好地找到解决问题的突破口.具体如下：由于a < 0，所以函数f（x） = x3 + ax和g（x） = x2 + bx的图像大致为：

因为函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，所以若同增，则有

a < b ≤ - - ≤ a < b（不可能，两个不等式中b的符号矛盾）

或 ≤ a < b- ≤ a < b（也不可能，因为题设要求a < 0）.

所以函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上必定单调递减，则有

- ≤ a < b≤ ， a < b ≤ - ，

解得- ≤ a < 0，a < b ≤ 0.所以|a - b|的最大值为 .

大部分学生看后发出感叹：数形结合思想在解决数学问题中真能启发我们的思路，原来数学不是我们想象的那么难. 例题2 已知函数f（x） = x3 - 3x，设h（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，求函数y = h（x）的零点个数. （2012年江苏18题改编）

代数解法很显然有较大局限性，而图形的直观性，则发挥出其独特的作用.具体如下：

根据条件可知：

因为h（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，那么求函数y = h（x）的零点个数，就是求满足f（f（x）） = c的实数x的个数，即求y = f（f（x））与y = c的交点个数.先看y = f（x）与y = c的交点情况，当c = 2时，y = f（x）与y = c有两个交点（图3），所以满足f（f（x）） = 2即满足f（x） = -1或f（x） = 2，而满足f（x） = -1或f（x） = 2的实数x共有五个（图4），即此时函数y = h（x）的零点个数为5；同理，当c = -2时，函数y = h（x）的零点个数也为5.

当-2 < c < 2时，解法依旧，从图像上可以看出，满足f（f（x）） = c的就是满足f（x） = x1，或f（x） = x2，或f（x） = x3（图5），由于xi（i = 1，2，3）均在区间（-2，2）内，且各不相同，所以直线y = xi（i = 1，2，3）与y = f（x）各有三个的交点，共9个交点（图6），故此时函数y = h（x）的零点个数为9.

我在讲解的过程中发现一部分学生能较轻松地听懂，一部分学生刚看到此题紧皱眉头，慢慢地听我一边展示图像一边讲解，猛然间脸上露出了基本懂了的微笑，我正准备请学生把该题如何运用由“形”转化到“数”的过程讲述一遍时，下课的铃声正好响了.

在上完该课后，我发现只要与三次函数相关的题目或者求导后导数等于零的方程有两个不等根的题目，大部分学生养成先做三次函数的草图，再由图像找到解决问题的方法.