浅谈高中数学“解三角形”的实践与思考

陈海燕

摘 要：解三角形是对任意三角形边角关系的探索，在一些测量和几何计算中具有实际的应用意义，其关键在于能否抓住解三角形的知识和方法。借几道简单朴实而具有代表性的例题分析了解三角形过程中遇到的一些基本题型及应对方法，并进行归纳总结，为解三角形问题提供行之有效的解题方法。

关键词：课堂教学；知识分析；解三角形；正弦定理；余弦定理

解三角形问题在高考中从不缺席，或注重考查基本知识、方法，或注重考查与三角函数、向量、不等式知识的综合运用。要抓住解三角形的知识和方法就要掌握解三角形的一些基本题型及解题方法。下面从任意三角形的边角元素入手，分析解三角形过程中出现的一些常见题型及其基本解题思路，并归纳总结。

一、找准基点，明确方向

无论是简单的三角形边角元素的求解，还是借助解三角形知识来解决相关的数学问题，都离不开四种基本的解三角形类型。在教学过程中，我们可以引导学生把这四种基本类型的解题思路当成一个模版记下，形成一系列相关问题的解题方法。

类型一：已知两角和任一边，解三角形

在三角形中，已知两角和任一边，可先求出第三个角，再根据正弦定理解题。

例1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，c=2，求C，a，b.

分析：先根据三角形内角和180°，求出角C；再根据正弦定理求出a，b.

解析：∵∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-（A+B）=75°

根据正弦定理，a=■=■=3■-■，

根据正弦定理，b=■=■=2■-2，

∴∠C=75°，a=3■-■，b=2■-2

思考与小结：例1是已知A，B两角和第三边c，所以先求出第三角C，再根据■=■=■求出其余两边。若已知的是两角和其中一个角的对边，可以先用正弦定理求出其中一已知角的对边，再用三角形内角和定理求出第三角。例如在△ABC中，已知∠A=30°，∠C=45°，a=20，求解此三角形。

类型二：已知三边，解三角形

已知三边长的题型，从余弦定理的推论入手，先求出其中一个角。

例2.在△ABC中，已知a=2■，b=■，c=3+■，求解△ABC.

分析：两种解法：（1）应用余弦定理的推论求出两角后，再由A+B+C=180°求出第三个角；（2）先用余弦定理的推论求出一个角，再根据正弦定理求出第二个角，最后由A+B+C=180°求出第三个角。

解析：（1）由余弦定理的推论得cosB=■=■，∴∠B=30°.

同理可得∠A=45°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

（2）由余弦定理的推论得，cosB=■=■，∴∠B=30°.

由正弦定理得，sinA=■=■=■，

∵a

∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

思考与小结：用余弦定理的推论求角只有一个解，通常选取较小边所对的锐角先进行求解，避免过大的计算量。此外，已知三边解三角形时，边长必须满足构成三角形的条件，解三角形才有意义，否则，解不了三角形，例如，已知的三条边分别为3 cm，4 cm，7 cm时，这个三角形就无法做出。

二、合理选择，巧妙搭配

解三角形的四种常见题型都有针对性的解法，在选择正弦定理还是余弦定理时具有比较明确的指向性，而对于一些题型，有时候两个定理都可以单独应用或者需要两个定理联合应用。

1.合理选择，追求高效

解三角形的主要工具是正弦定理和余弦定理，单独运用时要先观察已知条件是运用正弦定理简单，还是运用余弦定理简单。有些题目两者都可以解，但选对了方法将提高解题速度和准确率，避免繁琐的计算。

例3.在△ABC中，若∠A=120°，AB=5， BC=7，则△ABC的面积S=____________.

分析：有两种思路。一是先求∠C，再求∠B，根据S=■AB·BCsin∠B求出面积。但发现∠C不是特殊角，只能求出sinC=■，所以要求sinB需通过sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C） 并借助三角函数的两角和差公式来求，那么又需要求cosC，计算相当繁琐；二是运用余弦定理构造关于AC的方程，解出AC，再根据S=■AB·ACsin∠A求得面积。

解析：根据余弦定理，72=52+AC2-2×5×ACcos120°，解方程得AC=8.所以S=■AB·ACsin∠A=10■.

2.巧妙搭配，相辅相成

在求解三角形问题时，有时单独运用正弦定理或余弦定理不能求解，这时就需要二者相辅相成。

例4.在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.

分析：已知△ADC的三边，先用余弦定理求出cosC，再根据sin2C+cos2C=1求出sinC，然后在△ABC中根据正弦定理求出AB.

此题有多种思路，但无论哪一种都需要正、余弦定理的结合。

解析：根据余弦定理的推论，cosC=■=■.

由sin2C+cos2C=1得，sinC=■=■.

根據正弦定理，AB=■=■=5■.

∴AC的长为5■.

扎实的数学基础对进一步学习数学有着很大的促进作用。本文借几道简约朴实但具代表性的例题，从教学中常见的一些情况分类分析了解三角形的解题思路，并归纳小结解三角形的解题方法。万变不离其宗，只要掌握解决问题的基本策略和方法，就可以实现触类旁通，提高解题效率，解决更多解三角形的相关问题。

参考文献：

[1]赵建军.例谈用正弦余弦定理解三角形[J].数学学习与研究，2012.

[2]孟敏.解三角形问题内容与方法浅析[J].教育教学论坛，2012.

（作者单位 福建省厦门市洪塘中学）

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