例谈解析几何初步教学中的数学思想方法

李荣军

摘 要：高中数学教学的基本任务是传授数学的双基知识，而学习的更高任务是向学生渗透数学思想方法，用数学的思想来学习、看待、感悟生活. 随着高中数学学习的深入，数学思想方法的教学成为数学学习的心脏，是数学教学的核心和重点. 依笔者看来，高中数学教学在一定程度上要将思想方法的教学渗透进数学教学中，对那些形式化的数学问题要结合数学思想方法进行教学，才能使学生对其理解透彻. 本文以解析几何初步为例，例谈高中数学教学中数学思想方法教学的渗透.

关键词：解析几何初步；分类讨论思想；对称变换思想；方程思想

从知识层面来说，高中数学有很多的基本知识，这是学生必须掌握的初级学习层次，高中数学学习的最高层次是掌握数学思想方法，将千变万化的试题化有形于无形中，通过思想方法看到问题的本质、解决的思路，这是数学教师教学的最终目标.掌握数学思想方法并能在考试中熟练运用，对学生来说并非易事.

从教学层面来说，新课程改革的不断深入和《高中数学新课程标准》的实施，预示着新课改将继续深化，其要求中学教育要不断培养学生的素质、能力和创新精神，依靠题海战术来提高高考分数而忽视学生能力培养的教学方式渐渐被淘汰. 依照著名数学教育家张奠宙教授的话：“数学教育首先要培养学生的基本功，在这基础之上慢慢磨炼学生的思维水平，即用数学思想来提高学生的数学能力.” 从如今高中数学教育的一线情形来看，一方面高中数学知识板块内容相对繁多、课时紧张，另一方面解题教学依旧是高考应试最核心的教学方向，这势必要求教师课堂教学有更高的效率——即以数学思想为基准进行解题教学的指导，来提高数学课堂教学的效率和有效性. 本文正是在这样的启示下，结合解析几何初步的教学实践例谈思想方法教学的实施.

解析几何初步中的分类讨论思想

众所周知，分类讨论思想一直是高中数学重点考查的数学思想方法之一，在解决很多高中数学问题诸如：导数压轴题、分段函数问题、数列的绝对值和、排列组合求方法总数等等时常常使用. 其早在中国古代刘徽等人的专著《九章算术》中就已经被多次使用，如今更是在高考数学中频繁出现，成为区分学生思想完整性、发散性、灵活性、严谨性等考查的必备数学思想，值得教师研究和深化.

例1 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合. 将矩形折叠，使A点落在线段DC上. 若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程.

分析：（1）题目已告诉直线斜率为k，即斜率存在；（2）从题意上看，斜率k可以为0，也可以不为0，所以要分类讨论.

解析：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y= .

（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kAG·k=-1， k=-1？圯a=-k. 故G点坐标为G（-k，1），从而折痕所在的直线与AG的交点坐标（线段AG的中点）为M- ， . 折痕所在的直线方程为y- =kx+ ，即y=kx+ + .

所以k=0时，y= ；k≠0时，y=kx+ + .

说明：（1）求直线方程时，要考虑斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系，从而进行分类讨论；（2）本题对斜率k为0和不为0进行分类讨论.易错点是忽略k=0的情况.

解析几何初步中的对称变换思想

对称变换源自函数的学习，在学习函数时，函数的奇偶性是对称变换最基本、最原始的形态. 随着数学知识的深入，对称变换思想也渐渐渗透到高中数学的其他章节，比如：抽象函数的对称变换，排列组合中的位置变换、平均分组，解析几何中的光线问题等等.

例2 光线沿直线l1：x-2y+5=0射入，遇直线l：3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

分析：（1）入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称；（2）对称点的连线被对称轴垂直平分.

解析：法一：由x-2y+5=0，3x-2y+7=0得x=-1，y=2.所以反射点M的坐标为（-1，2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP′=- = . 而PP′的中点Q的坐标为 ， ，Q点在l上，所以3· -2· +7=0.

图1

由 =- ， x0- -y0+7=0

得x0=- ，y0=- .

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.

法二：设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0，y0）关于直线l的对称点为P′（x，y），则 =- . 又PP′的中点Q ， 在l上，所以3× -2× +7=0，由 =- ，3× -（y+y0）+7=0可得P点的坐标为x0= ，y0= ，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0，所以反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.

说明：（1）综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法是求解本题的关键；（2）构建方程解方程组是本题的又一重要方法；（3）坐标转移法是对称变换中常用的方法之一；（4）本题的易错点：一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，即找不到解决问题的突破口.

解析几何初步中的方程思想

我们知道，数形结合是利用几何图形解决代数问题的典范，那么方程思想，正是用代数的观念解决几何问题的代表思想. 诸如在解决两个函数f（x）=lnx和g（x）=x2交点的问题时，我们常常可以构造新的函数F（x）=f（x）-g（x），进而研究F（x）的零点即可，这就是将图形问题代数化的典型体现.

例3 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

分析：（1）求圆心及半径，关键是求m；（2）利用OP⊥OQ，建立x1x2+y1y2=0和根与系数的关系或利用圆的几何性质.

解析：法一：将x=3-2y，代入方程x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件：y1+y2=4，y1y2= . 因为OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1，x2=3-2y2，所以x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2= . 故 + =0，解得m=3，此时Δ>0，圆心坐标为- ，3，半径r= .

法二：设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+λ（x+2y-3）=0. 由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上. 所以m-3λ=0，即m=3λ. 所以圆系方程可化为x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0，即x2+（1+λ）x+y2+2（λ-3）y=0，所以圆心M- ，3-λ. 又圆心在PQ上，所以- +2（3-λ）-3=0，所以λ=1，所以m=3. 所以圆心为- ，3，半径为 .

说明：（1）在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使思路简洁明了，简化思路，简便运算；（2）本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕“列出m的方程”求m值；（3）本题的易错点是：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误.

总之近年来，对高中数学思想方法的考查越来越受到各地高考试卷的重视，教师从高一教学开始就应全面渗透数学思想方法，提升学生通过问题看本质的能力，使其在掌握双基的同时，将知识点进行有机的整合，最终上升到思想方法的高度，久而久之的磨炼可以提升学生的数学能力和数学素养. 用诺贝尔奖获得者李政道教授的话说：“我觉得今天取得自己的一点成就离不开数学的功底，而数学的功底又在于我当年中学时代对数学思想方法的理解和运用，其伴随我研究一生.”