一道圆锥曲线试题的再探究

童殷

摘 要：本文通过研究某校的一道涉及圆锥曲线的月考试题，得到一个有用的结论，并将此结论进行了一般化推广.

关键词：圆锥曲线；试题探究

在平时的教学中我们会发现许多有价值的题目，教师不能就题论题，而应认真挖掘题目的丰富内涵和背景，通过对一个有价值的基本问题的研究，以变换问题的条件、结论、设问等方式可以有效提升学生的思维品质，激发学生的探索兴趣.

试题呈现

已知椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率为 ，Q1， 在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线l相交于M1，M2. 问：是否存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）由e= 得：a=2c，b= c，从而有：C： + =1（c>0）

又Q1， 在椭圆C上，故有 + =1，解得c=1.

所以椭圆C的方程为： + =1.

（2）设P（x1，y1），由（1）知：A（-2，0），B（2，0），l：x=4，

则直线AP的方程为：y= （x+2），由x=4得y= ，所以M14， ；同理得：M24， .

假设存在点D（t，0），使得以M1M2为直径的圆恒过点D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即：（4-t）2+ =0.

又P（x1，y1）在椭圆C上，所以3x +4y =12，所以 =- . 代入上式得（4-t）2+12×- =0，解得t=1或7.

所以，存在D（1，0）或D（7，0），使得以M1M2为直径的圆恒过点D.

点评：数学家波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.” 仔细研究第2问的结果，我们会发现一个有趣的问题，即t=1= = ，t=7= = . 由此，我们便会想这样的结论是否适合一般方程，双曲线是否具有类似的结论？下面我们对此进行研究.

推广探究

结论1：已知椭圆C： + =1（a>b>0），A，B为椭圆C的左、右顶点. 若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线l相交于M1，M2，则存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D，且D的坐标为 ，0或 ，0.

证明：设P（x1，y1），A（-a，0），B（a，0），l：x= ，则直线AP的方程为：y= （x+a），由x= 得y= · ，所以M1 ， · ；同理得：M ， · .

假设存在点D（t，0），使得以M1M2为直径的圆恒过点D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即： -t2+ · =0.

又P（x1，y1）在椭圆C上，所以b2x +a2y =a2b2，所以 =- .

代入上式得 -t2- · =0，解得t= 或t= .

所以，存在D ，0或D ，0，使得以M1M2为直径的圆恒过点D.

结论2：已知双曲线C： - =1（a>0，b>0），A，B为双曲线C的左、右顶点. 若P是双曲线右支上异于B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线l相交于M1，M2，则存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D，且D的坐标为 ，0或 ，0.

证明：设P（x1，y1），A（-a，0），B（a，0），l：x= ，则直线AP的方程为：y= （x+a），由x= 得y= · ，所以M1 ， · ；同理得：M2 ， · .

假设存在点D（t，0），使得以M1M2为直径的圆恒过点D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即： -t2+ · =0.

又P（x1，y1）在双曲线C上，所以b2x -a2y =a2b2，所以 = .

代入上式得 -t2+ · =0，解得t= 或t= . 所以，存在D ，0或D ，0，使得以M1M2为直径的圆恒过点D.