探讨圆锥曲线切线问题的教学实录

许正川 毛世槐

摘 要：本文从另一个角度，利用割线逼近切线的思想，对解决直线与圆锥曲线相切的直线方程问题做了系统的讨论，得出了圆满的结论.

关键词：圆锥曲线；点差法；中点弦；割线；切线；教学案例

问题背景

如图1，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e= ，过左焦点F 作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，AA′=4.

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程.

图1

在研究2013年重庆高考数学理科解析几何试题（试题如上）的时候，联想到过P点的圆和椭圆的切线共用一条，如果利用这一点，问题很快得到解决.但学生不晓得过椭圆上一点的切线方程.怎么办？突发奇想，切线和割线会不会有相似的性质？切线是割线的极限，可否利用曲线的中点弦问题解决切线问题？而中点弦问题是解析几何中的一类常见问题，许多学生熟悉“点差法”求直线斜率，即首先设弦的两端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决. 设想A、B两点退化为切点，可否得到切线斜率？

案例实录

1.？摇创设情景，提出问题

教师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法. 下面请大家看问题1：已知点M（x0，y0）是直线l被椭圆 + =1所截得的线段的中点，求直线l的方程.

问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索.

2.？摇自主探索，暴露思维

学生求解的同时，教师在行间巡视，发现学生1很快得出了结果，于是请生1上台板书.

学生1：设直线l与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有b2x +a2y =a2b2，b2x +a2y =a2b2，

两式相减，得：b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0.

因为M（x0，y0）为AB中点，所以有：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

所以kAB= ，kOM= = ，故有kABkOM=- ，所求直线l的方程为y-y0= - （x-x0） .

教师：很好！先求直线斜率，过程非常简捷.同学们还有没有其他的方法？

学生2：有，显然直线l斜率存在，设其斜率为k，则所求直线方程为y-y0=k（x-x0），联立椭圆方程消去y并整理可得（a2k2+b2）x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（kx0-y0）2-a2b2=0，由韦达定理求得kAB=- ，再求出直线l的方程. 不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦.

教师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”. 其中联立直线与椭圆方程消去y（或x）再由韦达定理求出k虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下优先考虑“点差法”.

我们再来看看问题2：已知M（x0，y0）是椭圆 + =1上一点，求过点M（x0，y0）的切线方程.

（片刻后）学生3：（与学生2同解）假设直线l斜率存在，设其斜率为k，则所求切线方程为y-y0=k（x-x0），联立椭圆方程消去y并整理可得（a2k2+b2）x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（kx0-y0）2-a2b2=0，由判别式为0有Δ=[2ka2（kx0-y0）]2-4（a2k2+b2）[a2（kx0-y0）2-a2b2]=0.

后面的运算太复杂，生3无法完成，老师接着算下去，化简得

（kx0-y0）2=a2k2+b2，

即k2（x -a2）-2kx0y0+（y -b2）=0①.

又因为点M（x0，y0）在椭圆上，有b2x +a2y =a2b2，所以x -a2=- ，y -b2=- ，代入①式，化简有kAB=- ，再求出直线l的方程y-y =- （x-x0）.

教师：问题1和问题2的结果惊人相似. 我们可否这样认为，对问题1的割线的斜率和问题2的切线的斜率有完全类似的结论？

辨析异同，归纳结论

学生4：老师，我想起来了，圆的弦和圆的切线都有相同的结论kOMkl=-1，（相切），椭圆也有相似的结论kABkOM=- ，还可以理解为圆是a=b的特殊情况.

教师：非常好！估计大多数同学还是很纠结，切线的运算太复杂. 我们可否换个角度思考，不用联立法？

（片刻后）学生5：可用“点差法”去思考，切线是退化的割线，割线在无限靠近切线的过程中，结论kABkOM=- 不变.

教师：很好！刚才两位同学都很善于思考，从广义和狭义的角度去联想理解. 直线l的方程y-y0=- （x-x0）看起来比较复杂，其结构特征与椭圆方程之间有没有联系？下面请同学们把直线方程化成一般式，你发现了什么？

学生6：切线方程和割线方程的形式分别为 + = + ， + = + ，表现形式完全一样，但内容不同. 切线方程点M（x0，y0）在椭圆上，割线方程的点M（x0，y0）在椭圆内. 故切线方程简化为 + =1，割线方程只能是 + = + .

教师：归纳得很好，梳理一下，结论如下：

（1）焦点在x轴上的椭圆 + =1，以M（x0，y0）为中点的中点弦的斜率与OM的斜率之积为定值- ；方程是 + = + .

（2）焦点在y轴上的椭圆 + =1，以M（x0，y0）为中点的中点弦的斜率与OM的斜率之积为定值- ；方程是 + = + .

（3）焦点在x轴上的椭圆 + =1，过椭圆上的一点M（x0，y0）的切线方程是 + =1.

（4）焦点在y轴上的椭圆 + =1，过椭圆上的一点M（x0，y0）的切线方程是 + =1；掌握这些结论后，我们一起来解决下面问题.

例 （1）已知点M（2，1）是直线l被椭圆 + =1所截得的线段的中点，求直线l的方程.

（2）过椭圆 + =1上一点M2， 的切线方程.

（3）已知椭圆 + =1及直线l：x+2y+18=0，在椭圆上求一点P1，使P1到直线l的距离最小；在椭圆上求一点P2，使P2到直线l的距离最大.

解：（1）直线l的方程是 + = + ，化简得8x+9y-25=0.

（2）切线方程是 + =1，化简得8x+6 y-36=0.

（3）设所求点为P0（x0，y0），则过此点的椭圆的切线 + =1应平行于直线x+2y+18=0，即y0= x0，代入 + =1解之得P1- ，- ，P2 ， .

横向类比，深入探究

教师：如果把椭圆改成圆心在坐标原点的圆x2+y2=r2呢？

学生7：圆可看做特殊的椭圆，只要将椭圆中的a、b看做半径就行.故有：

如果圆的方程是x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程是x0x+y0y=r2. 如果M（x0，y0）为圆内的一点，那么以该点为中点的弦所在的直线方程为x0x+y0y=x +y .

教师：如果把椭圆改成圆心不在坐标原点的圆（x-m）2+（y-n）2=r2呢？

学生8：我只能得到方程（x-x0）（x0-m）+（y-y0）（y0-n）=0.

教师：很好，但结构与前面不符，我们可否变换一下？（没有学生回答）即（x-m+m-x0）（x0-m）+（y-n+n-y0）（y0-n）=0，展开有（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=（x0-m）2+（y0-n）2. 所以有，已知圆的方程是（x-m）2+（y-n）2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程是（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=r2；如果M（x0，y0）为圆内的一点，那么以该点为中点的弦所在的直线方程为（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=（x0-m）2+（y0-n）2.

教师：如果把椭圆改成双曲线呢？

学生9：焦点在x轴上的双曲线 - =1，以M（x0，y0）为中点的中点弦的斜率与OM的斜率之积为定值- ，方程是 - = - .

教师：画图，观察一下双曲线的图象斜率之积能否为定值- ？

学生9：哦，不可能是负的，应该为正，所以

（1）焦点在x轴上的双曲线 - =1，以M（x0，y0）为中点的中点弦的斜率与OM的斜率之积为定值 ，方程是 - = - .

（2）焦点在y轴上的双曲线 - =1，以M（x0，y0）为中点的中点弦的斜率与OM的斜率之积为定值 ，方程是 - = - .

（3）焦点在x轴上的双曲线 - =1，过双曲线上的一点M（x0，y0）的切线方程是 - =1.

（4）焦点在y轴上的双曲线 - =1，过双曲线上的一点M（x0，y0）的切线方程是 - =1.

留下问题，课后探究

探究到这里，很快就要下课了.为进一步激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考，笔者又向学生提出了一些思考题，让学生带着问题走出课堂.

教师：1. 请同学们课后探究过抛物线上任一点的切线方程；

2. 已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+ y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）

A. 3 B. 2

C. 2 ？摇？摇 D. 4

3. 已知椭圆 +y2=1的两个焦点是F1（-c，0），F2（c，0）（c>0）. 设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求EF1+EF2取得最小值时椭圆的方程.

？摇？摇4. 能否用切线方法解决本文最前面重庆2013理科高考（21）题？

解：（1） + =1.

（2）设内切于椭圆的圆的标准方程是（x-m）2+y2=r2（m>0），因为PQ⊥P′Q，m>0，则P点的坐标m+ r， r，过点P圆的切线方程和椭圆的切线方程分别为

（x-m）m+ r-m+y r=r2（m>0）和

+ =1，化简后分别为x+y-m- r=0和m+ rx+ ry-16=0，这两条直线重合，所以有 = = ，解得r= ，m= .

所以圆的标准方程x- +y2= ；同理，当m<0时，由对称性，另一个圆的标准方程是x+ +y2= ；综上所述，圆的标准方程x± +y2= .

教后反思

高中数学课程标准明确指出：数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容. 对教师来说，探究什么？如何探究？在探究过程中教师和学生分别扮演什么样的角色？这些问题，值得我们教师进行深层次的思考. 通过本次教学尝试，笔者深刻体会到对习惯于“照本宣科”、灌输式教学的我们来说，要充分相信学生的智慧和能力. 与其教师讲得口干舌燥，部分学生无动于衷；不如调动学生直接参与，让学生亲身体验探究学习的过程，从而激发学生的学习积极性和主动性，使学生在教学中由被动的知识接受者转变成为知识的共同建构者. 与此同时，注意充分发挥教师在探究学习中的支持与引导作用，做到教学相长.