小心“温水煮青蛙”

周苏军 任伟芳

摘 要：纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题的形式出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势，简单线性规划正在成为一个高考热点. 从各地高考来看，不难发现对于该知识点主要是从“线性约束条件”和“（非）线性目标函数”两个角度来进行考查. 拿考纲要求来分析高考线性规划题，可以揣摩命题者的一些想法.

关键词：线性规划；考纲要求；变式教学；引起警醒

高中数学教学中的线性规划作为数形结合思想运用的一个典范，还承载着解决实际生活中的物质调运、产品安排、下料等问题.认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型：求目标函数的最值问题；求参数的取值问题；求约束条件问题；求面积问题. 但还有不少例外的情况，要小心温水煮青蛙的变化.

先看一道高考题：

例1 （2013浙江省理科13）设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=________.

其中给出的答案是：画出可行域如图1所示.

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图1

由可行域知，最优解可能在A（0，2）或C（4，4）处取得. 若在A（0，2）处取得不符合题意；

若在C（4，4）处取得，则4k+4=12，解得k=2，此时符合题意.

先看命题的背景，2013年浙江省高考大纲的要求是：

1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

这与2012年高考考纲中对线性规划内容要求分毫不差. 而2012年浙江省的线性规划题目并没有像以往那样出现在填空题中，而是在22题的第3小题中，经过列数量关系转化才能显现出来，应该是体现了考纲中的第3条要求，而在2013年高考中，又回归到了填空题中，看来是符合了考纲的第2条要求.由此可以看出在高考中，线性规划问题要考到什么层次，并不那么确定.

纵向对比前几年的线性规划题：

例2 （2011浙江理科5）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>0，2x+y-7>0，x≥0，y≥0，若x，y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）

A. 14？摇？摇？摇？摇 ？摇B. 16？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 17？摇？摇？摇？摇 ？摇D. 19

例3 （2010浙江理科7）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0且x+y的最大值为9，则实数m等于（ ）

A. -2？摇？摇？摇？摇 ？摇B. -1？摇？摇？摇？摇 ？摇C. 1？摇？摇？摇？摇 ？摇D. 2

这两年的高考题紧扣考纲第2条要求，没有涉及“会从实际情境中抽象出二元一次不等式组”这一要求.

再来看一下考纲对于学生能力的要求，涉及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力、数据处理能力、应用意识以及创新意识. 总之对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

从这几年的高考来看，对于线性规划的要求，从一开始的考查数学知识的理解和应用向综合和灵活的应用能力过度，考查学生理性思维的深度有进一步加强的趋势.

再看2013年的高考题，从以往的计算最值转变为从最值出发，计算含参目标函数中的参数，这是考查学生逆向思维的能力；而且参数是放在x变量的前面，又考查了学生的分类讨论能力；相比2010年、2011年浙江省高考题，更能全面考查学生的能力.

如果在2010年考题上，再适当地变化一下，也不失为一道好题.

1. （变式1）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值为9，则实数m=________；

此题看似与原题一样，但是将参数m放到了变量x之前，由其左右部分的判定的不确定性，适当增加了其灵活性. 也可以进行双参数的变化，当然其实质性仍然没有变化.如

2. （变式2）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx+ny≥0且x+y的最大值为9，则实数■=________；

3. （变式3）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，nx-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值为9，则实数■=________；

4. 同时2013年高考题也可以进行这样的改进（变式四），设z=mx+ny，其中实数x，y满足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数■=________.

以上这些变式，仅仅是从形式上作了改变，但数学本质仍然没有变化，考试内容仍然围绕着考纲的第2条要求，题目的灵活性更强，对学生能力要求更高.

不妨大胆设想，以后的高考中线性规划选择、填空的题型，会不会从考纲的第3点“会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决”这个角度命题呢？

例4 已知钝角三角形ABC的最大边长为2，其余两边长为x，y，则以（x，y）为坐标的点表示平面区域的面积是________.

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图2

此题以三角形为背景出发，用解三角形的知识写出其约束条件x+y>2，x2+y2<4，0

例5 （2012江苏14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则■的取值范围是________.

例6 （2012陕西14）设函数f（x）=lnx，x>0，-2x-1，x≤0，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为________.

从近几年的全国各地高考题来看，有些线性规划高考题综合性强，能力要求高，是能考查出学生对知识掌控和能力水平强弱的试题，这些题目往往在知识的交汇处命题，因此我们认为线性规划高考题的要求只会提高不会降低，在高考复习时教师要引起重视.