数学教学中要体现思维与技能的统一

陆春怀

摘 要：整个数学的发展过程其实就是不断建立数学模型和应用模型的过程，数学教学的最终目标是培养学生善于应用数学知识解决实际问题的能力. 数学思维不仅有生动活泼的探究过程，而且有严谨的证明过程，我们常说“先思考再行动，三思而后行，审题要慢做题要快，想在算之前”等，都是在说明教学中一是教学生数学思维，二是教学生数学技术，两者相辅相成，高度统一，不可偏颇.

关键词：思维；技能；统一

“古代中国认为数学是‘术，是用来解决生产和生活问题的计算方法. 历史上著名的《周脾算经》、《九章算术》等‘算经十书，充分反映了中国古代数学追求实用、注重算法、寓理于算的特点. 而古希腊却认为数学是理念，是关于世界本质的学问，数学对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识.” “随着时代的发展与研究的深入，对‘数学是什么的回答又有过很多经典的说法. 比如：‘数学是科学，数学更是一门创造性的艺术，‘数学是一种语言，是一些科学的公共语言，‘数学是一种文化体系，‘数学是科学，数学也是一门技术等等”，甚至有人说：“高科技本质上就是数学技术.” 加里宁说“数学是锻炼思维的体操.” “数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法.” 由此，对于数学教学自然存在两种认识：一是教学生数学思维，二是教学生数学技术.

教思维还是教技术？在很多教师的心理是比较模糊的. 认识的不同，直接影响教师的教学行为. 因为技术强调熟练，要通过大量甚至重复的练习而达到目标，即所谓的“熟能生巧”. “题海战术”实质上就是把数学当作一种技术的行为体现. 认为数学是思维的学科，把数学看做是一种思维训练的教师，在教学中就会强调效率，强调教学的有效性，就会时刻围绕着激发学生思维，提高学生思维能力作为出发点和归宿. 在教学设计上，就会深入浅出，环环相扣，层层递进. 在教学过程中就会妙趣横生，高潮不断产生，学生的积极性自然高涨，思维能力得到迅速提升.

教思维是必然的，然而数学又是一项技术，教学生技术也是必需的. 因此，一定量的训练很必要. 同时，没有一定量的练习，思维的训练也得不到巩固. 所以，两者如何有效结合起来就是教师们必须面对的问题.解决得好，就会形成一个通途，学生会感到轻松，兴趣也会大增；否则，学生就会沉入到书堆之中，沉入到题海之中，靠岸无力，兴趣当然荡然无存了. 其实，在某些方面学生厌学，教师（或家长）负有不可推卸的责任.

数学教学的目的是教会学生如何数学地思考问题，分析问题和解决问题，从而提高思考能力，提高素质. 如果把数学单纯地当做技术教，就会“越教学生越死”，思维得不到联通，学生越学越吃力，甚至产生厌学心理.

因此，课堂上我们应该把发展学生思维作为一条主线，在选题、做题和讲题上深入挖掘其中所蕴涵的思维成分，在学生学“数学技术”的同时，思维能力得到提高.

高中数学到底怎么教？我们知道，同样的原材料，但不同水平的厨师做出来的菜肴却大相径庭. 同样一堂内容的课，不同水平或不同理念的教师上出来的效果也不尽相同，甚至天壤之别.菜肴是否可口，品尝者说了算；课是否好，学生说了算. 然而，我们站在公正的立场去评价，高低上下总会一目了然. 这好比是数学里的最小数原理一样，“在有限个实数中必然有一个最小的.”

那么，如何上好高中数学课呢？或者说高中数学课应该怎么上呢？笔者认为，要处理好下面几个问题：

（1）把思维当做主线去组织内容

“课堂教学贯穿思维这个主线”是我们数学教师应该具有的理念. 理念决定行为，行为影响效果. 在备课时，首先应根据学生的实际情况，编制教学内容，设计问题. 对于基础较差的学生做到“低起点，小步子”；对于基础较好的学生，可以适当把起点放得高一些. 步子适当放得大一些，做到让学生“跳一跳，可以够得着；想一想，能够想得到.”

“数学教学过程是学生在教师的引导下进行的积极的思维活动过程，数学教学具有活动性特征，数学教学过程中的活动既有外部的具体行为操作，又有内部的抽象思维操作，是学生由表及里的活动，并且以内部的积极思维为主要形式，因此，思维活动应成为课堂的‘主角.” 始终以思维活动为着重点，交给学生思维方法，优化学生思维品质，一切按“训练学生思维”这条主线展开，会使学生越学越活，真正感悟到问题的本质，从而提高数学能力和数学素养.“进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.”

案例1 已知 + =1，其中a>0，b>0，求a+b的取值范围.

思路1：消元法，由已知得b= ，则a+b=a+ = . 至此，有的学生分离常数，有的学生用导数，思维异常活跃……

思路2：基本不等式法1：因为 + =1≥2 ，所以ab≥6，所以a+b≥2 .

教师：对吗？问题出现在哪？到底应该怎么办？于是，学生们纷纷给出下列解法：

基本不等式法2：消元法，a+b=a+ +3=（a-2）+ +5≥5+2 .

基本不等式法3：整体处理法，a+b=（a+b）· + =5+ + ≥5+2 .

基本不等式法4：分解变换法， + =1？圯ab=3a+2b？圯（a-2）（b-3）=6，所以a+b=（a-2）+（b-3）+5≥5+2 =5+2 .

接着，教师继续启发，学生又得到如下思路.

思路3：构造直线 + =1，等价于过点P（2，3）的直线交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B，作PE⊥x轴，作PF⊥y轴，垂足为F，求OA+OB的最小值. 设AE=m，BF=m，由 + ，得mn=6，则a+b=OA+OB=m+n+5≥5+ =5+2 。

（2）选择适当的练习题

适当的训练非常重要. 技术需要训练，思维也需要训练，没有恰当及时的巩固练习，学生就达不到应有的效果. 不同的内容需要的训练量是不同的. 有的知识点可能只需要两个练习题就够了，第3个题就是多余的；有的知识点需要10个不同类型题的训练，只练习9个题就不够，就达不到应有的效果.因此，一定量的练习很重要.

训练题需要一定的数量，更需要很好的质量. 因此，训练题要精心选择，要把思维蕴涵在每一道习题之中，即“让题说话”. 因此，可根据学生的实际情况和知识内容的特点，分层设计练习题. 如A＼B组，A组为必会题（或称过关题），B组为提升题. 这样，学生会各得其所，也可以确保每名学生都会得到不同程度的提高.

（3）课堂上要善于激发学生思维

激发学生思维是数学教学的重要目标，数学课堂应该处处显现智慧之光. 因此，在数学教学中，要充分发挥学生的主动性和积极性，关键是紧紧抓住学生的最近发展区，使学生的思维处于活跃状态. 激发思维的方法很多，比如：①从解题入手，一题多解，启发学生发散思维能力；多题一解，激发学生概括抽象能力，从而感悟到问题的本质所在. ②从让学生编题入手，教师首先提供一个基础题，然后让学生在此基础上生成新题. 在这个过程中，学生的思维一直处于积极状态.

如某教师在黑板上写出一道题：求函数f（x）=x+2，x∈[0，1]的值域，要求学生编题.

学生1. 若f（x）=ax+m，x∈[0，1]的值域是[2，3]，求m和n的值.

学生2. 若函数f（x）=nsinx+m的值域是[2，3]，求m和n的值.

学生3. 对？坌k∈[1，2]，？坌m∈[2，3]，函数f（x）=kx+m（k，m为常数）的值恒正，求x的取值范围.

学生4. 设f（x）=x+2的定义域为[an，bn]，值域为[an+1，bn+1]，n∈N*，且a1=1，b1=2，求数列{an-2bn}的前n项和.

③从正误辨析上入手.通过辨析，使学生澄清问题的本质，激发学生思维.

如已知函数f（x）=x 在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，那么最小的正数a=________.

教师要求学生对下面的解析提出问题：

解析：由幂函数的图象和性质可知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故 <0.

又因为f（x）在（-∞，0）上是增函数，故幂函数必定为偶函数，

所以 为负偶数，

即 =-2k（k∈N*），

所以a=6k+1，

当k=1时，amin=7，故a=7.

通过分析，部分学生认为是正确的. 有一个学生举出一个例子y=x- 是符合题目条件的函数，但此时a=3. 因此，最小值不是7. 此时教室里一片哗然. 因此，讨论和思考进一步深入下去……

④从题目的变式上入手. 题目的变式，表面上是给学生搭梯子，建台阶，实质上是引领学生从现象到本质的飞跃过程.

通过变式教学，使学生步步提升，思维自然得到激发，问题的本质逐步显露，学生的感悟能力也得到不同程度的提高，解题技能也会节节攀升.