新课程概率统计学生易混淆问题

吴永峰

摘要：新课程改革下，高考对于概率统计问题的考查侧重点发生了变化，其中理科的独立重复实验和排列组合问题、文科的古典概型的列举问题和线性规划的问题加强了考查的力度，而这些问题学生在复习中容易产生混淆，本文结合自己的教学体会，分别从文科和理科两方面对以上问题进行阐述。

关键词：文科；古典概型的列举；线性规划；理科；独立重复实验；排列组合

一.引言

高中新课程改革之前，概率试题注重对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；独立事件的概率乘法公式；事件在 次独立重复试验中恰发生 次的概率的考查。高中新课程改革之后，概率的考查更多与统计结合，结合茎叶图和频率直方图，理科重点考察随机变量、分布列、数学期望，文科侧重抽样方法和总体分布估计，文理科均以古典概型和几何概型为考查重点。

二.文理科概率混淆点

高考复习中，在概率统计的复习中学生遇到了一些容易出现了混淆的问题。

理科学生混淆的问题主要是独立重复实验和排列组合问题；文科主要是古典概型的列举问题和线性规划的问题。

1.文科常规题

例：一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为 ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为 .求关于 的一元二次方程 有实根的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n.若以 作为点P的坐标，求点P落在区域 内的概率.

解答：（1）基本事件（a，b）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）

共12种。

∵ 有实根，∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。

记“ 有实根”为事件A，则A包含的事件有：

（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）共6种。

∴P（A）= 。

（2）基本事件（m，n）有：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）

（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）

（4，3）（4，4）共16种。

记 “点P落在区域 内”为事件B，则B包含的事件有：

（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）共4种。∴P（B）= 。

此类问题的第二问显然是古典概型的列举问题。学生也容易看出。但在下列两类题型一放在一起时学生就难区分是古典概型还是线性规划问题了。

2.文科混淆题

某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：

甲：102，101，99，98，103，98，99

乙：110，115，90，85，75，115，110

（1）画出这两组数据的茎叶图；

（2）求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示）；并说明哪个车间的产品较稳定.

（3）从甲中任取一个数据x ，从乙中任取一个数据y ，求满足条件 的概率.

解答：（1）茎叶图略

评析：这两个题型中的第三问，极易混淆，但仔细审题之后，会发现题型一中的关键词“若干次训练成绩中随机抽取6次”，最后是研究甲乙的成绩状况，是由样本研究总体的问题，所以是线性规划问题；而题型二则是直接从甲乙中各取出一个，研究的就是样本中的数据问题，所以是古典概型问题，这两个问题如不仔细审题极其容易混淆，这也是教师的一个教学难点。

3.理科常规题

例：甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。

（1）用 表示取到的4个球中红球的个数，求 的分布列及 的数学期望；

（2）求取到的4个球中至少有2个红球的概率.

解答：（1） ，

某市 年 月 日— 月 日（ 天）对空气质量指数 进行监测，获得数据后得到如下条形图：

（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个，设 为空气质量类别为优的天数，求 的分布列.

解答：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为 天，

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为P= .

（2）随机变量 的可能取值为 ，则

， ，

所以 的分布列为：

概率与统计是高考数学解答题考察的六大题型之一，所以教师务必对这些问题要非常清晰的分析到位，否则失分较多，给学生的复习带来严重的隐患，谨以此篇文章略谈自己的一点看法，希望与高中数学老师共勉，提出宝贵意见！

参考文献：

[1]近几年课改城市高考真题或模拟试题