搭桥：做好学生创新活动的脚手架

沈颖

摘 要： 在中学数学教学中，如何指导学生应用熟知的结论提升新的结果，是一个受到广泛关注的问题。本文指出，教师要摆脱传统的圈套式或标签式引导法，随时准备在学生活跃的思想中做好搭桥工作，教师要做学生创新活动的脚手架。本文以一些几何问题为背景阐述这一主张。

关键词： 中学数学教学 创新活动 几何问题

课前，教师对知识、范例，以及即将发生的学习活动、计划达成的目标都要预先进行设想与勾画，不言而喻，在把部分精力投入到教材的挖掘，在概念、例题、命题、习题上下工夫的同时，还要关注知识背后的数学思想方法及应用价值.因此，课堂教学就具有较大的开放性，方法上具有高度的灵活性，思想上具有创新性.这需要老师恰当地参与、鼓励、扶持，处理不好就会出现错误的教学行为。

①“圈套式”学习：教师精心设计一系列铺垫性问题，引导学生探究相关的结论，学生被老师牵着鼻子走，没有内需驱动力，不能处理好被动地听、记与主动地思考甚至是超前想象之间的关系.爱因斯坦曾说：“提出一个问题比解决问题更重要，后者仅仅是方法和实验过程，而前者则要找到问题的关键和要害”.因此，应使学生在探究中学会思考和提问，在自主地发现问题和解决问题的同时，聚焦于各种重要的数学思想方法，开拓学生的思维，发展学生的能力，这才是教学的目的。

②“标签式”学习：教师先抛出问题，让学生独立探究（或分组合作）.有的问题超出了学生的认知水平难以展开探究；或者流于形式，强行将学生分组并在规定时间内讨论，只是课堂上热热闹闹，缺乏真正意义上的数学思考.

另外，对课堂教学情景所作的预设和勾画只是一个蓝图，它应该是一个开放的系统而不是封闭的系统.无论课前作出多么周密的设计和预测，总还存在很多不可预知的因素，因此，这种预设绝不是课堂教学中必须遵守的教条.教学中，要随时调整课前的预设，即时创造，即兴修改，创设出有利于学生进行有效学习的学习情景，这也是课堂学习情景的生成性.这种机不可失的“妙微心会”的灵感，错过了就不会再来，前进一步也许就能带来柳暗花明的新意境.

那么，如何体现老师在恰当思维点的恰当价值呢？美国心理学家Perkins和Salomon等研究认为[1]：教师要帮助学生从他们先前经验和新学习的内容之间找出联系，进行抽象概括从而激发创新思维活动，这就是通常所说的“搭桥”，搭桥过程一般有三种方式：

①要求学生找出解决问题的方法，讨论每种方法的优缺点；

②采用类比的方法检查各个系统之间的相似点和不同点；

③要求学生将现有问题应用于其他情景.

老师通过搭桥，建立不同问题相互联系的通道，不断创设思考问题的新模式，激发学生的创新思维，为学生飞翔的思维护航，这就是西方教育界提倡的“活动式脚手架”.

案例一：

【问题】设D是正△P■P■P■及其内部的点构成的集合，点P■是△P■P■P■的中心，若集合S={P|∈D，|PP■|≤|PP■|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（？摇？摇 ）

A.三角形区域 B.四边形区域

C.五边形区域 D.六边形区域

答：D.

这是2009高考，北京卷（文）试题.如图1，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF及其内部.此题属于创新题型，结构良好.学生在思考后，意犹未尽，明显有种探索的冲动，但一时又不知如何入手.老师充当“脚手架”，给学生不断“搭桥”，指明探索方向.

搭桥1：边数上思考，增加边数有什么发现？学生给出新的问题：

问题1.设D是边长为a的正方形P■P■P■P■及其内部的点构成的集合，点P■是该正方形的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|i=1，2，3，4}，则集合S表示的区域面积多少？

问题进了一步，并探索出答案■a■.似乎还有突破，接着学生给出一般性的问题：

问题2.设D是正n边形P■P■…P■及其内部的点构成的集合，点P■是正n边形P■P■…P■的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|i=1，2，3，…n}，则集合S表示的平面区域的面积是多少？问题具有了一般性，可喜可贺.可以看出集合S也是个正n边形，但一般情况下，边长较难确定，要求面积的一般性公式思维受阻.

搭桥2：维度上思考，类比到空间能有什么结果？得到新问题：

问题3.设D是边长为a正四面体P■-P■P■P■及其内部的点构成的集合，点P■是该正四面体的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■| ≤|PP■|，i=1，2，3，4}，则集合S表示的区域的体积是多少？

从维度上突破，类比到空间，探索出答案■a■，思维有了飞跃.更进一步可以提出：

问题4.设D是边长为a正方体P■P■P■P■-P■P■P■P■及其内部的点构成的集合，点P■是这个正方体的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|，i=1，2，3，…8}，向正方体内随机抛放一点，则这点落在S中的概率是多少？学生探索出答案■，对老师来讲这只是问题的延伸，对学生来讲这就是创新活动，这样的学习过程是非常重要的.

案例二：平面几何与立体几何的类比■

教材上的这些阅读材料是正常教学内容的延伸和补充，学生学习这些内容，不是简单地识记或了解，而是在提高学生自学能力、分析问题和解决问题能力的同时，进行创新活动.笔者按照课前预设在指导学生学习课本内容之后，激起了学生的学习热情，都跃跃欲试，有继续探索的欲望，生成了新的学习情景.何不让学生放手一搏呢？经过老师的搭桥、点拨，学生得出了很多结果，现仅摘录三角形到空间四面体的一些主要类比结果如下：

试图将月牙定理（希波克拉底定理）类比到空间，一时没发现相应的结果，留下缺憾美.从这个过程可以看出，中学生限于年龄和知识水平，他们的探索往往局限在科学数学的小“问题”层面，对深层次的数学审美和数学文化方面的问题很难触及，更不要说站在哲学的层面看待数学.然而，将学生的一个个“幼稚”想法，尽情地发展为一个个“小硕果”，会使学生的思路更加开阔，知识更加厚重，对养成学生良好的学习习惯有积极的推动作用.

蔡元培先生说：“教育是帮助被教育的人，给他发展自己的能力.”保护和发展学生的探索激情，及时“搭桥”和移动“脚手架”，让学生的思维持续飞翔，使之既有“水的灵动”又有“山的沉稳”，进而“明明白白我的心”，这就是我们所希望的课堂教学.

参考文献：

[1][美]David A.Sousa.天才脑与学习[M].“认知神经科学与学习”国家重点实验室、脑与教育应用研究中心译.中国轻工业出版社，2005.2.

[2]单遵等.普通高中课程标准试验教科书（必修2）[M].江苏教育出版社（第四版），2012.6.