参数未知混沌系统的异结构广义同步

宁 娣

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

混沌同步在生物、化学、医学和信息科学领域具有良好的应用前景， 自Pecora和Carroll提出了一种混沌同步方法以来[1-3]，混沌同步受到越来越多的关注，随之也出现了各种各样的同步方法，如驱动响应法、变量耦合法、自适应法、变量反馈法等[4-6].然而这些方法都是针对完全同步而言，在实际中难以产生两个完全相同的混沌系统，参数失配和各种失真总是存在且不可避免.为此，人们提出了“广义同步”的概念，它比完全同步具有更广阔的应用前景.

广义同步，即在主从混沌系统之间建立一种函数关系，这种函数关系可能已知，也可能未知.一般来说，在函数关系已知时，是通过自适应控制器的方法设置控制器主从系统满足给定的函数关系[7,8]，而当函数关系未知时，则是通过辅助系统的方法[9]来实现同步，即构造与受控响应系统相同的辅助系统，如下：

1 问题的描述

考虑如下数学模型描述的两个非线性动力系统，分别作为驱动系统和响应系统：

(1)

(2)

其中x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，y=(y1，y2，…，ym)T∈Rm分别为驱动系统和响应系统的状态向量，f∈Rn,g∈Rm分别为驱动系统和响应系统的非线性项，F∈Rn×l,G∈Rm×s为连续的向量函数，α∈Rl,β∈Rs为系统的未知参数向量，u(x,y)为控制器.

为了使系统(1)、(2)达到广义同步，在这里借助辅助系统的方法，因此构造系统(2)相应的辅助系统：

(3)

假设1(全局Lipschitz条件) 假设存在一常数L≥0，使得对于任意的x(t),y(t)∈Rn，有：

‖g(x(t))-g(y(t))‖≤L‖x(t)-y(t)‖,

这里‖·‖是2-范数.

假设2 假设存在一常数L′≥0，使得对于任意的y(t),z(t)∈Rn，有：

‖G(z(t))β*-G(y(t))β*‖≤L′‖z(t)-y(t)‖，

这里β*是一个常数向量.

定理1 假定假设1、假设2成立，且控制器满足：

u(x,y)=-k(y-x),u(x,z)=-k(z-x),

(4)

以及参数自适应律满足：

(5)

则驱动系统(1)和响应系统(2)达到广义同步.

证明定义系统(2)和(3)的误差为e=z-y，将(3)式减去(2)式，得到误差系统为：

u(x,y).

令u(x,y)=-k(y-x)，u(x,z)=-k(z-x)，则误差系统可以转换为：

(G(z)-G(y))β.

(6)

构造Lyapunov函数：

由误差系统(6)，将(4)、(5)式代入可得：

eT(-ke+g(z(t))-g(y(t)))+eT(G(z(t))

-keTe+LeTe+(G(z)β*-G(y)β*)Te≤

-keTe+LeTe+L′eTe.

2 Rössler系统与Chen系统的异结构广义同步

在这部分中，我们用Rössler系统[10]和Chen系统[11]来验证上述理论的正确性，这里的驱动系统和响应系统的维数相同，且两个系统的参数均未知.

驱动系统：

其中α=(a,b,c)T是未知参数.因为Rössler系统是混沌的，所以状态变量xi(i=1,2,3)是有界的，如图1所示.

图1 Rössler吸引子的相图，系统参数为a=0.2,b=0.2,c=5.7

响应系统：

其中β=(l,m,n)T是未知参数.

辅助系统：

数值模拟中采用Matlab中的Ode45这个命令，随机选择混沌动力系统的初值，取常数k=20，r=10.图2给出了受控响应系统和其对应的辅助系统的误差图，由图2可知随着时间的增加，同步误差迅速趋向于零，即Rössler系统和Chen系统达到广义同步，这些都说明了该理论的有效性和正确性.

图2 在系统维数相同的情况下，受控的响应系统与辅助系统的误差随时间的演化曲线

3 超Rössler系统与Chen系统的异结构广义同步

在这部分中，主要讨论的是混沌系统维数不相同的情况，其中驱动系统选择超Rössler混沌系统[10]，响应系统选择Chen系统.因为二者维数不同，故对Chen系统进行扩阶，即在Chen系统中增加一维，但不改变Chen系统的混沌动力学行为，其动力学行为在三维空间中的投影如图3所示.

图 3 四维的Chen混沌系统在三维空间(y1,y3,y4)上的投影

驱动系统的动力学方程为：

其中α=(a,b,c,d)T是未知参数向量.

此时受控的响应系统可以写为：

其中β=(l,m,n)T是未知参数向量.

其对应的辅助系统为：

数值模拟中同样采用Matlab中的Ode45命令，随机选择混沌动力系统的初值，此时取常数k=20，r=10.图4给出了受控响应系统和其对应的辅助系统的误差图，由图4可知随着时间的增加，同步误差迅速趋向于零，即超Rössler混沌系统和Chen系统达到广义同步，这些都说明了该理论的有效性和正确性.

图4 在系统维数不同的情况下，受控的响应系统与辅助系统的误差随时间的演化曲线

4 结语

研究参数未知的混沌系统的广义同步的文章已经很多了，但这些文章主要用自适应控制的方法来研究，本文借助构造辅助系统的方法研究了参数未知情况下，混沌系统维数相同和不相同两种情况下的异结构广义同步，利用Rössler系统、Chen系统、超Rössler系统进行了数值仿真，验证了理论的正确性和有效性.

[1] Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

[2] Pecora L M,Carroll T L. Synchronizing chaotic circuits[J]. IEEE Trans Circuits Syst,1991,38(4):453-456.

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[5] 宁 娣,陆君安.一个临界系统与Lorenz系统和Chen系统的异结构同步[J].Acta Physica Sinica,2005,54(10):4590-4596.

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[8] 贾飞蕾,徐 伟,都 林.参数未知的不同阶数混沌系统广义同步及参数估计[J].物理学报,2007,56(10):5640-5647.

[9] Pecora L M,Carroll T L. Master stability functions for synchronized coupled systems [J].Phys Rev L,1998,80(10):2109-2112.

[10] Rössler O E. An equation for continuous chaos[J]. Phys Lett A,1976,57:397-398.

[11] Chen G R,Ueta T. Yet another chaotic attractor[J]. Int J Bifurcat Chaos,1999,9(7):1465-1466.