一类特别的广义积分

【摘要】广义积分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）总是收敛的，它的值与α无关.

【关键词】广义积分；收敛

广义积分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）（α为任意常数）是一类非常有趣的积分，不管α取何值，它总是收敛的，并且都收敛于π4.也就是说，该广义积分的值与α无关.

对于这个广义积分，如果处理的方法不当，还是很难得到以上结论的.请看下面的处理方法.

∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）

=∫10dx（1+x2）（1+xα）+∫+∞1dx（1+x2）（1+xα）.（1）

而对于积分∫10dx（1+x2）（1+xα），

当令x=1t时，有：

x→0时，t→+∞；x→1时，t→1.

从而∫10dx（1+x2）（1+xα）=∫1+∞-1t2dt1+1t21+1tα

=∫1+∞-tαdt（1+t2）（1+tα）

=∫+∞1tαdt（1+t2）（1+tα）

=∫+∞1xαdx（1+x2）（1+xα）.（2）

联合（1）和（2）就有：

∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1xαdx（1+x2）（1+xα）+∫+∞1dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1（xα+1）dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1dx1+x2=arctanx|+∞1

=π2-π4

=π4.

由此可見，广义积分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）（α为任意常数），确实是不管α取何值，它们都收敛于π4.也就是说该广义积分的值与α无关.

【参考文献】

[1]朱双荣.经济数学[M].武汉：华中师范大学出版社，2007：126.