有关初等对称函数的一个广泛定理

吴德昭 吴牮

【摘要】本文实质性地推广了文献[4]中的一个结果，得到反映初等对称函数凸性的一个一般性定理.

【关键词】初等对称函数；不等式；凸性

初等对称函数与对称平均的课题开启于G.H.Hardy与J.E.Littlewood的名著[1].多年来，各国学者对初等对称函数精细性质的进一步探讨始终未停止过.早在20世紀50年代末期，M.Marcus、J.B.McLeod等就有过十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度给出一个新颖的不等式，此不等式刻画了初等对称函数的凸性，笔者发现，此结果可以做一种实质性推广.

一个猜测：

若记

∑∞k=0T（k，s，n，a）xk=∏ni=1（1+aix）s，s>0，∏ni=1（1-aix）s，s<0，

其中T（k，s，n，a）与所谓的Whiteley平均值有关，文献[5]指出，对于T（k，s，n，a）有类似于（7）式的不等式

[T（k，s，n，a+b）]1k≥[T（k，s，n，a）]1k+[T（k，s，n，b）]1k（s>0）.（8）

我们猜测，（8）式也可以做类似（6）式的非平凡拓广，完成证明可能需要克服复杂的初等运算带来的困扰.

【参考文献】

[1]哈代GH，李特伍德JE，波利亚G.不等式[M].北京：科学出版社，1965.

[2]Marcus M，Lopes L.Inequalities for Symmetric functions and Hermitian matrices[J].Canad.J.Math，1957（9）：305-312.

[3]McLeod J B.On four inequalities in symmetric functions[J].Proc.Edinburgh Math.Soc.1959（11）：211-219.

[4]朱宗毅.一个对称不等式的证明及其加强 [J].数学的实践与认识，1988（1）：51-53.

[5]Mitrinovic D S，Vasic P M.分析不等式[M].赵汉宾，译.南宁：广西人民出版社，1986.