新角度下理解曲线以及曲面积分的对称性

于亚萍

【摘要】对于对称性的理解，简单情况如奇、偶函数的对称性，一元函数积分的对称性等对于初学者问题不大，但是到了曲线积分，尤其是曲面积分中，因为对称涉及积分区域的对称以及被积函数的对称，两方面都要考虑，情况较为复杂，所以本文提出了一种将连续函数离散化的方法，从离散的角度来理解对称性.

【关键词】对称性；离散化；积分；奇偶性

对称是一种美，而且这种美在数学中无处不在，贯穿数学中的各个分支.很多图形是对称的，比如，心形线等等，很多函数是对称的，比如，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称，当然，积分中也不会缺少对称这个完美的性质.利用对称性可以简化计算，提高运算速度和效率，避免出错，有着非常重要的作用.但是在高等数学的教学中，曲面积分对称性也是一个难点，所以为了帮助理解，我们要将连续函数离散化.

离散化方法是在分析中经常用的方法之一，意思即是将连续的问题化为离散的点来考虑.

在离散化之前，我们需要做一些合理的假设.众所周知，点是没有长度、面积和体积的，但是为了描述方便，为了直观地理解对称性，不妨将其理想化，假定点是有面积、体积且是均匀量，并记点的长度为l*，点的面积为s*，点的体积为v*.

下面从离散化角度来看积分：

对于第一类曲线积分，由定义得：

∫lf（x，y）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi=li∑（x，y）∈lf（x，y）.

若积分曲线关于x轴对称，x轴上方的曲线记作L1，x轴下方的曲线记作L2，任取L1上的点（x，y），就有L2上的点（x，-y）相对应，若f（x，-y）=f（x，y），则

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=2li∑（x，y）∈L1f（x，y）=2∫L 1f（x，y）ds.

若f（x，-y）=-f（x，y），则

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=li∑（x，y）∈L1f（x，y）+li∑（x，y）∈L2f（x，y）=0，

即如果积分曲线关于x（y）轴对称，被积函数关于变量有奇偶性，则“偶倍奇零”.

对于第一类曲面积分，由定义得：

Σf（x，y，z）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi，ζi）Δsi

=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）.

此时，若积分曲面关于xOy面对称，记xOy面上方的曲面为Σ1，xOy面下方的曲面为Σ2，任取Σ1上的点（x，y，z），必有Σ2中的点（x，y，-z）与之对应，如果被积函数有：f（x，y，z）=f（x，y，-z），

则有

Σf（x，y，z）ds=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）

=s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）+s*∑（x，y，z）∈Σ2f（x，y，z）

=2s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）=2Σ1f（x，y，z）ds.

如果被积函数有：f（x，y，z）=-f（x，y，-z），则有

关于其他坐标面对称情况类似，综上，即有：如果积分曲面关于某个坐标面对称，被积函数关于第三个变量具有奇偶性，则适用对称性，即“偶零奇倍”.

综上，可以很容易理解为何要求积分区域具有对称性的同时，还要要求被积函数具有对称性，也很易理解对称性.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]凌明伟.对称法求积分[J].高等数学研究，2003（1）：35-38.

[3]林源渠，等.高等數学复习指导与典型例题分析[M].北京：机械工业出版社，2002.

[4]陈增政，徐进明.利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J].工科数学，1994（4）：181-184.