差分方程在经济学中的几个应用

易强 吕希元

【摘要】本文主要探讨使用差分方程求解国民消费情况，以及借助萨缪尔森乘数——加速数模型讨论人口增长情况.

【关键词】差分方程；消费模型；人口增长

差分方程是经济学和管理科学等学科中最常见的一种离散型模型.

一、消费模型

若Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，满足：

Ct=α·Yt+a，It=βYt+b，Yt-Yt-1=θ（Yt-1-Ct-1-It-1）.

其中，α，β，a，b和θ均为常数，且0<α<1，0<β<1，0<α+β<1，0<θ<1，a≥0，b≥0.

消去Ct和It得：

Yt=[1+θ（1-α-β）]·Yt-1-θ（a+b），

容易求得：

Yt=Y0-a+b1-α-β[1+θ（1-α-β）]t+a+b1-α-β，t=0，1，2，…，其中Y0为基期的国民收入.

又由：Ct=αYt+a=（C0-A）[1+θ（1-α-β）]t+A，其中C0=αY0+a为基期消费，A=α（a+b）1-α-β+a.

It=βYt+b=（I0-B）[1+θ（1-α-β）]t+B，其中，I0=βY0+b为基期投资，B=β（a+b）1-α-β+b.

例1小李夫妇为买房要向银行借款60万元，月利息是0.005，贷款期为25年，已知每月能有6 500元的结余，小李夫妇想知道每月要偿还多少钱（设为常数），进而决定自己是否有能力来买房.

解设A0=600 000元为向银行借款的金额，月利率为r=0.005，第t个月尚欠银行At元，设25年=300月还清本息A300=0，每月要还x元，则有如下差分方程：

At+1=At（1+r）-x.

解得：At=A0-xr（1+r）t+xr，

代入A300=0，得：

x=A0·r·（1+r）300（1+r）300-1=0.005×600000×（1.005）300（1.005）300-1≈3867元，

故小李夫妇是有能力买房的.

二、人口增长模型

设xn是某人类群体在第n个时间段（例如，年）末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差），那么人口增长率与原人口数成正比，从而xn+1=xn+r·xn，即xn+1=axn.

这是一个线形映射的迭代：f（x）=ax，从而xn=axn-1=a2xn-2=…=anx0，故人口增长呈几何级数.

例2假设人口20年统计一次，且各变量定义如下：

x1（t）——第t个20年间0～20岁人口数；

x2（t）——第t个20年间21～40岁人口数；

x3（t）——第t个20年间41～60岁人口数；

x4（t）——第t个20年间61～80岁人口数.

在第t个20年间21～40岁的人一共生了9个新生儿，显然：

α=1表示一对夫妇平均生2个新生儿，

α=1.5表示一对夫妇平均生3个新生儿，

α=0.5表示一对夫妇平均生1个新生儿.

忽略幼年、青年、中年的死亡率，忽略41岁～60岁人的生育因素，试求人口增长函数.

解由题意得：

x1（t）=αx2（t），x2（t+1）=x1（t），x3（t+1）=x2（t），x4（t+1）=x3（t）.

整理得：x1（t+1）=αx1（t），

其解为：x1（t）=x1（0）αt，

xm（t）=xm（0）αt，m=2，3，4，

即α>1时，人口越来越多；0<α<1，人口越来越少，并趋向于零；α=1时，人口将维持在一个恒定的水平上.

【参考文献】

[1]吴自库.Logistic人口模型参数伴随同化识别[J].科学技术与工程，2008（16）：4432-4434.

[2]黃荣清.关于人口预测问题的思考[J].人口研究，2004（28）：88-90.

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