易强 吕希元
【摘要】本文主要探讨使用差分方程求解国民消费情况,以及借助萨缪尔森乘数——加速数模型讨论人口增长情况.
【关键词】差分方程;消费模型;人口增长
差分方程是经济学和管理科学等学科中最常见的一种离散型模型.
一、消费模型
若Yt为t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,满足:
Ct=α·Yt+a,It=βYt+b,Yt-Yt-1=θ(Yt-1-Ct-1-It-1).
其中,α,β,a,b和θ均为常数,且0<α<1,0<β<1,0<α+β<1,0<θ<1,a≥0,b≥0.
消去Ct和It得:
Yt=[1+θ(1-α-β)]·Yt-1-θ(a+b),
容易求得:
Yt=Y0-a+b1-α-β[1+θ(1-α-β)]t+a+b1-α-β,t=0,1,2,…,其中Y0为基期的国民收入.
又由:Ct=αYt+a=(C0-A)[1+θ(1-α-β)]t+A,其中C0=αY0+a为基期消费,A=α(a+b)1-α-β+a.
It=βYt+b=(I0-B)[1+θ(1-α-β)]t+B,其中,I0=βY0+b为基期投资,B=β(a+b)1-α-β+b.
例1小李夫妇为买房要向银行借款60万元,月利息是0.005,贷款期为25年,已知每月能有6 500元的结余,小李夫妇想知道每月要偿还多少钱(设为常数),进而决定自己是否有能力来买房.
解设A0=600 000元为向银行借款的金额,月利率为r=0.005,第t个月尚欠银行At元,设25年=300月还清本息A300=0,每月要还x元,则有如下差分方程:
At+1=At(1+r)-x.
解得:At=A0-xr(1+r)t+xr,
代入A300=0,得:
x=A0·r·(1+r)300(1+r)300-1=0.005×600000×(1.005)300(1.005)300-1≈3867元,
故小李夫妇是有能力买房的.
二、人口增长模型
设xn是某人类群体在第n个时间段(例如,年)末时的总数,若在单位时间段内人口相对增长率为r(出生率与死亡率之差),那么人口增长率与原人口数成正比,从而xn+1=xn+r·xn,即xn+1=axn.
这是一个线形映射的迭代:f(x)=ax,从而xn=axn-1=a2xn-2=…=anx0,故人口增长呈几何级数.
例2假设人口20年统计一次,且各变量定义如下:
x1(t)——第t个20年间0~20岁人口数;
x2(t)——第t个20年间21~40岁人口数;
x3(t)——第t个20年间41~60岁人口数;
x4(t)——第t个20年间61~80岁人口数.
在第t个20年间21~40岁的人一共生了9个新生儿,显然:
α=1表示一对夫妇平均生2个新生儿,
α=1.5表示一对夫妇平均生3个新生儿,
α=0.5表示一对夫妇平均生1个新生儿.
忽略幼年、青年、中年的死亡率,忽略41岁~60岁人的生育因素,试求人口增长函数.
解由题意得:
x1(t)=αx2(t),x2(t+1)=x1(t),x3(t+1)=x2(t),x4(t+1)=x3(t).
整理得:x1(t+1)=αx1(t),
其解为:x1(t)=x1(0)αt,
xm(t)=xm(0)αt,m=2,3,4,
即α>1时,人口越来越多;0<α<1,人口越来越少,并趋向于零;α=1时,人口将维持在一个恒定的水平上.
【参考文献】
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