构造法在大学生数学竞赛中的应用

闫晓辉 王磊 姚玉武

【摘要】构造法作为一种重要的解题方法，在数学学科中的应用尤为突出.构造法的本质是依据题设条件与结论，抓住它们之间的内在联系以及问题的位置、数字、外形等特征，并用新的观点对对象进行观察、分析和解释，从而解决相应的问题.本文通过分析、总结构造法的基本思想，并通过应用举例，探究构造法思想在大学生数学竞赛中的应用，充分体现了构造法的灵活性及其巧妙之处.

【关键词】构造法；大学生数学竞赛；应用

【基金项目】卓越人才教育培养计划（编号：2016ZJJH053）；安徽省质量工程重大教学改革研究项目（编号：2015ZDJY140）.

一、引言

构造法是利用创造性解题的一种方法.构造法思想具有悠久的历史，可以说它从数学学科诞生的那天起就产生了，且随着数学的发展而不断发展.历史上有很多数学家都曾用构造法解决过数学上的许多难题，如欧几里得、高斯、拉格朗日等等，随着构造思想在解题中越来越多的应用，人们也越发了解到构造法的重要性，然而构造法较难掌握，它不同于一般的逻辑方法，应用于解题时并没有一定的规律或原则可循，因此，对构造法的理解、掌握以及灵活地应用显得尤为重要.

随着社会的发展与科技的进步，我国对人才的需求与日俱增，培养创新型人才更是重中之重.目前我国各大高校均已开展各种有助于提高创新性的竞赛活动，其中“大学生数学竞赛”备受瞩目，它不仅可以推动高等学校数学课程的改革与建设，提高大学数学课程的教学水平，而且还可以激发大学生学习数学的兴趣，发现及选拔数学创新人才，这为国家的发展提供了不竭的动力.大学生数学竞赛作为一项竞技类考试，要求学生具備一定的思维跳跃度，而在紧张的竞赛氛围中，面对高难度的试题，要想获得高分，还需要及时准确地选择恰当的解题方法，从而进行快速高效解题.虽然构造法没有固定的方法步骤可循，但它在解题过程中却发挥出了不可估量的作用.若参赛者能快速准确地把握构造法在解题中的应用，必定能得到事半功倍的效果.

二、构造法的基本思想

在解题过程中，出于某种需要，要么把题设条件或结论中的关系构造出来，要么构造某个模型来体现其关系，抑或是将已知条件经过适当的组合而构造出一种新形式来解决问题.因此，对于从不同角度的构造，我们可将其分为三大类：直接构造、变更条件构造和变更结论构造.在这种思维过程中，对已有的方法和知识采取分解、组合、推广、变换、类比等手段进行思维的再创造，构造出新的式子、图形或简化的问题来帮助解题的思想，我们称之为构造法的思想.

构造法的实质是指当用通常的方法、定式思维去解决某些数学问题很难奏效时，根据题设条件和结论的性质、特征，用新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的外形、数字、位置等特征，来解决相应的数学问题.其步骤较直观，灵活性大，关键在于借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，实施正确的转化.它的具体解题过程可用下面的框架来表示：

用新的观点对题设条件、结论特征及其相互关系进行分析

通过创造性思维构造出相应的模型或问题，从而化简问题

通过对构造出的问题或模型进行推理演算得出结论

构造法作为一种常用的数学解题方法，它虽然没有具体可循的解题步骤，但它和其他方法一样，本身具有独特而又显著的特征，如，解题步骤的直观性、解题过程的构造性、构造方式的灵活性与可行性以及构造思维的多样性.

在大学生数学竞赛中，构造法不失为一种快速高效的解题法.对于具体的数学问题，我们经常需要构造函数、构造区间套、构造点列和子列、构造开覆盖等等来进行解题.构造函数方法包括直接观察、移项构造函数、凑导数构造函数、利用不定积分构造函数和利用常数值构造函数等等.另外，我们根据实际情况往往需要构造多项式、二次型、矩阵、行列式、变换与基等来解决代数问题.解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究和解决几何问题，为了把代数运算运用到几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构代数化与数量化，在将几何代数化与数量化以及解决几何问题的过程中，我们会用到很多数学思想方法，最常见的有数形结合、类比、构造；构造法包括构造辅助函数、构造方程、构造向量、构造平面束、做辅助线等等.构造法思想在大学生数学竞赛中能够得到充分应用，使得对问题的求解更为简便.

三、应用举例

例1计算n阶行列式

Dn=x-aaa…aax-aa…aaax-a…aaaa…x-a .

分析行列式的计算是高等代数的基础，对于题中这类n阶行列式，根据行列式的性质，我们有很多方法去求解，如，三角形法、拆分法、加边法、递推法、构造法、数学归纳法等等，求解方法的选取适当会使得计算过程简化、方便.

解（构造辅助行列式法）在Dn的各元素上加（-a）后，则有

证明一设F（x）=f（x）sinx+f′（x）cosx，则F（x）在[-2，2]上可导.

因为f2（0）+[f′（0）]2=4，|f（x）|≤1，

所以|F（0）|=|f′（0）|≥3>1，

又因为Fπ2=fπ2≤1，F-π2=f-π2≤1，故F（x）在-π2，π2上的最大值点或最小值点必有一个落在-π2，π2.设ξ∈-π2，π2为F（x）在-π2，π2上的一个最值点，则有F′（ξ）=[f（ξ）+f″（ξ）]cosξ=0.显然cosξ≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

证明二设F（x）=f2（x）+[f′（x）]2，则F（x）在[-2，2]上可导且F（0）=4.

应用拉格朗日中值定理可知，存在ξ1∈（0，2），

使得f′（ξ1）=f（2）-f（0）2-0.

于是

|f′（ξ1）|=f（2）-f（0）2-0≤|f（2）|+|f（0）|2≤1，

同理存在ξ2∈（-2，0），使得|f′（ξ2）|≤1.由此F（ξ1），F（ξ2）≤2

从而F（x）在[ξ2，ξ1]上的最大值点ξ∈（ξ2，ξ1），即有

F′（ξ）=2f′（ξ）[f（ξ）+f″（ξ）]=0.

又因為[f′（ξ）]2=F（ξ）-f2（ξ）≥F（0）-1=3，

所以f′（ξ）≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

注：构造函数的方式不同，所构造出的函数对于解题的作用也不一样.证法一就巧妙地利用了三角函数构造新函数，并根据极值点的特性，非常简单地证明了此题；证法二的函数构造虽然比较自然，但是在最值点的讨论过程中还要用到中值定理，难度较大.这便突显出了构造法的灵活性，体现了构造法的美妙之处.

例3（第四届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类））

试求通过直线L：2x+y-3z+2=0，5x+5y-4z+3=0 的两个相互垂直的平面π1和π2的方程，要求使其中一个平面过点（4，-3，1）.

解构造过直线L的平面束为λ（2x+y-3z+2）+μ（5x+5y-4z+3）=0，即（2λ+5μ）x+（λ+5μ）y-（3λ+4μ）z+（2λ+3μ）=0，

若平面π1过点（4，-3，1），代入得λ+μ=0，

即μ=-λ，从而平面π1的方程为

3x+4y-z+1=0，

若平面束中的平面π2与π1垂直，则

3·（2λ+5μ）+4·（λ+5μ）+1·（3λ+4μ）=0，

解得λ=-3μ，故平面π2的方程为x-2y-5z+3=0.

四、结论

构造法作为一种常用的数学解题方法，其原则具有非常规性，方法具有试探性，思维具有创造性，在解题过程中体现了还原、分解、简化、数形转化等功能.本文主要分析构造法的基本思想及其在大学生数学竞赛中各部分的广泛应用，利用构造法解题能够培养我们思维的灵活性和个人分析问题的能力，使复杂的问题简单化，使隐含的问题具体化.

【参考文献】

[1]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]刘兰萍.构造法与数学解题[J].青海教育，2002.（9）：37.