分析和解决问题能力的组成及培养

赵泽峰

摘要：高中数学新课程对于提高分析和解决问题的能力有着更深层次的要求，本文就我们教师在平时教学中应注重分析和解决问题能力的培养的方法和策略上进行研讨，得出了一般性的结论。

关键词：高中数学 审题能力 分析和解决问题 数学建模

新课标明确指出：高中数学课程对于提高分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新思维，起着基础性作用。分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述，建立恰当的数学模型，利用对模型求解的结果加以解释。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性。下面筆者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点雏见。

一、审题能力

审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力，分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确地解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。

例1 已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgαtgβ的值。

分析：怎样利用已知的两个等式？初看好象找不出条件和结论的联系，只好从未知tgαtgβ入手。当然，首先想到的是把tgα、tgβ分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑将tgαtgβ写成sinαsinβ/cosαcosβ，转向求sinαsinβ、cosαcosβ。令：

x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=y/x。

从方程的观点看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是转向求x+y=cos（α-β）、x-y=cos（α+β）。

这样把问题转化为下列问题：

已知sinαsinβ= 2 ①

cosαcosβ= ②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）= ，cos（α-β）= 。

②2-①2得cos2α+cosβ+2cos（α+β）= ，cos（α+β）=- 。

这样问题就可以得到解决。

从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

二、合理应用知识、思想、方法解决问题的能力

高中数学知识包括函数、导数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何、排列与组合、统计与概率等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法、分离参数法等基本方法。只有理解和掌握了数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。

例2 设函数f（x）= （x>0且x≠1）。

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知2>xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围。

解：（Ⅰ）f′（x）=- ，若f′（x）=0，则x= ：

（Ⅱ）在2>xa两边取对数， 得 1n2>a1nx，由于0

由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，f（x）≤f（ ）=-e，

为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当 >-e，即a>-e1n2。

∴a∈（-e1n2，+∞）

在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查了用导数讨论函数的单调性，求参数取值范围利用分离参数法、不等式的解法等基本知识，以及分类讨论的数学思想方法的运算、推理等能力。

三、数学建模能力

近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这对学生分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。

例3 某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件。

（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]。

（Ⅱ）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）。

令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ 。

在x=6+ a两侧L′的值由正变负。

所以：（1）当8≤6+ a<9即3≤a< 时，

Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）。

（2）当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时，

Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a[12-（6+a）]2=4（3-a）3，

答：若3≤a< ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为（6+a）元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3（万元）。

评述：本题考查了函数、导数及其应用等知识，考查了运用数学知识分析和解决实际问题的能力。在该题解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可缺的一个组成部分。

参考文献：

[1]简洪权.高中数学运算能力的组成及培养策略[J].中学数学教学参考.

[2]张卫国.例谈高考应用题对能力的考查[J].中学数学研究.