用元素法求解曲面面积时的一个误区

王苏华

【摘要】定积分的元素法关键是正确给出部分量Δ玌的近似表达式“f(x)玠玿”，然而在用元素法求曲面面积时，很多学生会忽略“Δ玌-f(x)玠玿应为玠玿的高阶无穷小”这一条件.本文通过一个典型错解分析了问题产生的原因，说明验证该条件的重要性.

【关键词】元素法；定积分；曲面面积；高阶无穷小

【基金项目】江苏科技大学引进人才科研启动基金项目资助オ

定积分的元素法（也称微元法）是解决积分应用问题的有用工具，是将定积分理论应用到解决几何、物理、工程以及经济管理等学科的重要分析方法，对工科学生有重要意义.另一方面，诸如重积分和曲面积分等一些多元积分利用元素法则可直接转化为定积分，从而简化了积分计算.因此，教师在教学过程中应多提倡学生使用元素法解决问题.

在教材［1］“定积分的应用”这一章中介绍了定积分的元素法.教材中指出，元素法的理论是建立在如下基础上的：

（1）所求量U是与一个变量x的变化区间［a,b］有关的量；

（2）U对于区间［a,b］具有可加性，就是说，如果把区间［a,b］分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量Δ玌璱的近似值可表示为f(ξ璱)Δ玿璱，那么就可以考虑用定积分来表达这个量U.

从以上叙述可以看出，元素法的关键是正确给出部分量Δ玌璱的近似表达式“f(ξ璱)Δ玿璱”.通常我们称这个近似表达式为所求量U的“元素”或“微元”，记作“f(x)玠玿”.

许多学生在求解一些曲面的面积时，会尝试用定积分的元素法，这就需要找到恰当的“面积元素”.笔者在教学过程中常会碰到学生因为选择了错误的面积元素而得到错解.下面我们用一个简明而典型的例子来说明.

图 1例 计算半径为1的上半球体的表面积S.

这个问题利用球体表面积公式立得答案S=1[]2S球=2π.但有学生尝试用定积分的元素法求面积时，得到以下错解：

错解 所求面积S是与变量z的变化区间［0,1］有关的量，且S对于区间［0,1］具有可加性.将［0,1］分成许多部分区间，则S相应地分成许多部分量，简记为Δ玈.显然，通过上述划分，Δ玈是类似环形的带状曲面面积（如图1）.用以这个带状曲面的下圆周（半径为1-z2）为底，以玠珃(=Δ珃)为高的圆柱面面积近似代替Δ玈，于是得面积元素玠玈=2π1-z2玠珃.则

S=А要102π1-z2玠珃=2πА要π玔]20И玞os2θ玠θ=π2玔]2.

显然，这样的解法是错误的，错的关键在于面积元素找错了.那么，为什么不能用圆柱面的面积来近似代替原带状曲面的面积呢？教材［1］第274页的脚注告诉我们“部分量Δ玌应与近似值f(x)玠玿相差一个比玠玿高阶的无穷小”，实际上这个条件也是微分定义中的一个重要条件.但在通常情况下，要检验Δ玌-f(x)玠玿是否为玠玿(也就是Δ玿)的高阶无穷小往往不是一件容易的事，甚至包括教材在内的很多参考书籍的例题中都没有对这一条件作具体讨论.因而学生在解此类问题时也只注意找一个小的近似量来代替原来的部分量，并认为分割越细，近似程度越高，却忽略了对这一重要条件进行验证.下面我们对例题中选取的近似表达式“玠玈=2π1-z2玠珃”的错误进行验证.首先要计算出部分量Δ玈的精确表达式，利用第一类曲面积分来计算Δ玈.设∑为图1中的带状曲面，D﹛y为其在xOy面的投影.则有

Δ玈=К氇∑И玠玈=К隓﹛y1+z2瓁+z2瓂玠玿玠珁

=К隓﹛y1+x2[]1-x2-y2+y2[]1-x2-y2玠玿玠珁

=К隓﹛y1[]1-x2-y2玠玿玠珁

=А要2π0И玠θА要1-z21-(z+Δ珃)2r[]1-r2玠玶

=2πΔ珃2+4π珃Δ珃.

于是Δ玈-玠玈=2πΔ珃2+4π珃Δ珃-2π1-z2Δ珃，从而有：

┆玪imΔ珃→0Δ玈-玠玈[]Δ珃=4π珃-2π1-z2≠0.

由此看出，玠玈=2π1-z2玠珃与Δ玈相差的不是Δ珃的高阶无穷小，所以用圆柱面面积“2π1-z2玠珃”作为Δ玈的近似表达式是不正确的.实际上，在使用元素法求一些曲面面积时，我们尽量避免选择类似带状曲面作为部分量，并用圆柱面来近似代替.如果选取了此类图形，则应注意考虑是否合理，在必要且可能的情况下，应进行验证.

从上述问题可以看出，“Δ玌-f(x)玠玿应为玠玿的高阶无穷小”这一条件是非常重要的.但因其验证往往比较繁琐甚至困难，教师在讲授时常常会无意中淡化其重要性，从而导致学生解题时会忽略这一条件.笔者认为，尽管没有必要也不可能要求学生解题时去验证这个条件，但教师在讲授元素法时应举一些易验证的例子以加深学生对元素法的理解.オ

【参考文献】オ

同济大学数学系.高等数学（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.