高中数学合情推理教学思考

束艳 潘歆

【摘要】合情推理是新课改后数学教材中新增的重要内容，本文分别从情境创设、教学过程、应用三个方面对高中数学合情推理的教学进行了深入思考，认为情境创设应从数学和生活同时入手，教学过程应遵循数学方法的教学原理，最终目的在于应用。

【关键词】合情推理；情境创设；数学方法；应用

【基金项目】江苏师范大学研究生科研创新计划一般项目

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（G.Polya）最先提出了“合情推理”，合情推理能够再现数学创造和数学学习的具体思维过程，是具有创造性的推理方法。从此，推理在生活中的其他各个领域都有广泛的应用，在数学中的应用更为突出。数学教育工作者虽对推理的重要性早已有深刻认识，但是并没有在数学教材以及教学中得到具体体现。新一轮课程改革之后，各种版本的数学高中教材都新增了推理这一重要内容，有合情推理和演绎推理。合情推理与演绎推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的两种重要思维方式，学习合情推理与演绎推理对培养学生的数学思维能力具有重要价值。因此，高中数学中合情推理与演绎推理的教学理应成为数学教育工作者研究与思考的重要课题之一。

高中数学新课程标准中对合情推理与演绎推理给出了明确区分，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程；而演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。由此可见，在解决实际问题的过程中，合情推理更有利于培养学生的创新意识，因此本文主要谈论高中数学“合情推理”的教学。新课标明确要求将“培养学生合情推理能力”作为高中数学教学的重要目标，可见新课程改革已经将“合情推理”置于了如此重要的地位。但是，高中一线数学教师对此却很畏惧，因为无论在理论上还是在实践方面他们都缺乏经验。根据新课程标准的要求，我们从以下几个方面来对“合情推理”教学进行深入思考。

1.合情推理来源于生活，情境创设应从数学和生活同时入手

合情推理来源于生活，但是，并不是生活中所有的例子都适合拿来创设“合情推理”的教学情境。我们来看一个例子：一位教师在校外借班进行“合情推理（第一课时）”教学时，是这样进行情境导入的。上课开始展示图片：神探狄仁杰探案、考古发掘、医生诊断病人、卫星云图，同时做简单的解说，并提出问题。此课堂中呈现出来的情境都来自于生活，并且看似很陌生，学生对这里提出的生活情境不一定都有所认识。生活情境要能够激发学生的学习兴趣，同时也要能够让学生获得感性上的认识。

新课标在“合情推理”教学方面建议：要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。由此可见，“合情推理”情境创设应从数学和生活实例入手。合情推理的例子在数学中到处可见，因此，学生学过的数学实例并不难寻找。但是，教师在进行“合情推理”教学时不能随便拿一个数学实例就进行情境创设，这需要教师在平时的教学中多积累、多发现有价值的数学实例。“合情推理”情境创设应该是数学实例和生活实例同时进行，生活实例虽然也容易寻找，但是，生活实例不宜过于复杂，应是学生熟悉的。例如，“由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想一切金属都能导电”可用来作为生活实例，这一物理知识是学生熟知的，用来创设情境可加强数学与其他学科之间的联系，让学生认识到数学中的“合情推理”处处存在。

“问题情境的创设事实上涉及了三种不同的内容：情境内容、学生经验内容、数学内容。”因此，“合情推理”教学的情境创设应当考虑学生的学习和生活经验，教学设计要具体情况具体分析，这对任课教师在校外借班上课是一个极大的挑战。“合情推理”情境创设也要注意孔子提出的“因材施教”。

2.合情推理是基本的数学方法，教学过程应遵循数学方法的教学原理

数学科学的现代发展表明，“数学不应简单地被等同于数学知识的汇集，而应被看成是由理论、方法、问题和符号语言等多种成分所组成的一个复合体。”这表明方法是数学活动的重要组成成分，是学生数学学习的重要内容，因此，数学教学离不开数学方法的教学。众所周知，过去的高中数学甚至整个中学阶段的数学都没有对数学方法进行系统的介绍，新教材增加“合情推理”这一基本的数学方法，可见其重要性非同寻常。《合情推理教学模式简介》一文中认为，教师在进行“合情推理”教学时可参考以下基本操作模式：

但是，实际操作过程中要灵活转变，教学并没有固定的模式。

教材中不对数学方法进行系统介绍，是因为数学方法多种多样，其教学更难以整体把握。因此，数学方法都是通过日常的数学学习进行渗透的。那么，“合情推理”教学理应当点点滴滴地渗透给学生，而不是教师直接告之学生。数学乃至其他学科中能够用合情推理来解决的问题数不胜数，教师不可能把所有能够用合情推理来解决的问题告诉学生。因此，这就需要教师在平时的日常教学中积累丰富的案例，仔细推敲、比较案例之间的区别与联系，借助最经典的案例将“合情推理”这一数学方法渗透给学生。同时，教师要引导学生从整体上认识“合情推理”，勤反思，多总结，最好能够举一反三，这样才有利于学生对“合情推理”进行内化。

由以上的分析可以发现，“合情推理”是一种重要的数学方法，其教学应该遵循数学方法的教学原理。新课程改革以前，数学方法的教学都是通过平时的教学点点滴滴渗透给学生的，新课改新增“合情推理”这一重要数学方法，只是给教师将平时积累的数学方法集中呈现出来的一个机会，上好“合情推理”一课不容易，对教师更是一个挑战。

3.合情推理教学在于应用

学习数学方法的最终目的是用方法来解决问题，因此，学生学习了“合情推理”之后，要善于将其用来解决问题。如何才能更好地将“合情推理”赋之运用呢？新课标中指出：在教学中不仅要重视对方法的特点进行静态分析，更要重视方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）。这表明，教师在对“合情推理”进行应用时，要注意动静结合，结果是静止不变的，也是无法改变的，而过程的动态呈现就需要充分发挥教师和学生的智慧。

《普通高中课程标准实验教科书·选修1-2·数学》中有一道有关正整数平方和公式的推导案例赏析，案例中给出了两种详细的推导思路，分别是归纳的思路和演绎的思路。教师如何向学生呈现动态的推导过程？笔者认为，第一，教师要明确，归纳和演绎是两种完全不同的思考方式，归纳属于合情推理，演绎即演绎推理，动态过程有明显区别。第二，运用合情推理解决的最常见的数学问题是数列，这要求教师对数字比较敏感，善于将公式进行变形，寻找规律。这一过程不能完全由教师自导自演，学生是学习的主体，教师应充分发挥主导作用，动态过程由此得到体现。第三，教师在进行教学时要留给学生充分的思考和回顾时间，让整个动态过程留在学生脑海中回味，这样才能快速地得出静态的结果，并且有利于学生掌握合情推理，在以后的学习中更好地运用合情推理解决更多的问题。

总之，教师在进行“合情推理”教学时，要将推理的动态过程展示给学生。另外，运用“合情推理”解决问题的方法不是统一的，教师要让学生思考、反思推理过程的特点，在变化多端的动态问题中寻找不变，这也是动静结合的一种体现。

【参考文献】

［1］G·波利亚。数学与猜想［M］。李心灿，等译。北京：科学出版社，1984。

［2］中华人民共和国教育部。普通高中数学课程标准（实验稿）［S］。北京：北京师范大学出版社，2003。

［3］江建国，郭楚明。“合情推理（第一课时）”教学过程简录及反思［J］。中国数学教育，2011（1-2）。

［4］吴晓红，刘洁，谢明初，等。现状、反思与构建:数学新课导入情境化［J］。湖南教育，2009（4）。

［5］郑毓信。数学教育哲学［M］。成都：四川教育出版社，2001。

［6］唐志华，郁建辉。合情推理教学模式简介［J］。数学教育学报，1998（5）。