定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释

李光华

【摘要】本文利用Mathematica 8。01的动画功能，将定积分的定义以直观的图形动画方式展现出来，以不同的函数、不同的计算方法、不同的区块数来展现结果，以使学者易学易懂。

【关键词】定积分；Mathematica；教学

定积分的定义在数学分析或者高等数学中具有重要的地位，如何讲清定积分的定义，是摆在数学老师们面前的一个课题。在教学中讲授这部分内容，对于老师来说是比较头疼的。因为定积分不仅仅是一个概念，它还是一种思想。即“化整为零”→“近似代替”→“积零为整”→“求出极限”，这种“和的极限”的思想在工程技术、物理及生产实践中具有普遍的意义。很多问题都可以归结为这种“和的极限”的数学结构。如我国的人口普查，即是化整为零，最小的统计单位为街道办或村，这些街道办和村的统计之和就形成了最终国家的人口统计数据。为了说清这个“和的极限”的思想，教材中往往采用曲边梯形的面积这类实际问题，来展现定积分的思想和方法。

教学中由于没有确切的极限数字，也无法得出具体的区块面积之和，故对于微积分的定义只能说个大概，所以只能是照本宣科的按照定义来念，都是假设那个极限值是固定不变的存在，就称那个极限是某函数的定积分。

Mathematica 8。01已经具备这样的动画功能，随着算法、分块的不同，分成的小区块的和也不同，但都接近于某一个固定值，这样由具体的数据出发，学生们就容易理解定积分。

在Mathematica 8。01中新建。nb笔记本文件，输入Mathematica命令：

left[f_, x_, n_, h_, type_] := {f /。 x -> bottom[n, h], f /。 x -> bottom[n + 1, h], f /。 x -> bottom[n, h] + 。5 h,

If[(f /。 x -> bottom[n, h]) < (f /。 x -> bottom[n + 1, h]), f /。 x -> bottom[n + 1, h], f /。 x -> bottom[n, h]],

If[(f /。 x -> bottom[n, h]) < (f /。 x -> bottom[n + 1, h]), f /。 x -> bottom[n, h], f /。 x -> bottom[n + 1, h]], f /。 x -> bottom[n, h]}[[type]]

right[f_, x_, n_, h_, type_] := If[type == 6, f /。 x -> bottom[n + 1, h], left[f, x, n, h, type]]

bottom[0, h_] := 0

bottom[n_, h_] := bottom[n - 1, h] + h

rectangle[f_, x_, n_, h_, type_] := {EdgeForm[Thin],

RGBColor[0, 1 - n/20, n/20],

Polygon[{{bottom[n, h], 0}, {bottom[n, h],left[f, x, n, h, type]}, {bottom[n + 1, h],

right[f, x, n, h, type]}, {bottom[n + 1, h], 0}}]}

estimatedArea[f_, x_, n_, h_, type_] := N[Sum[Abs[ bottom[i, h] - bottom[i + 1, h]]*(left[f, x, i, h, type] + right[f, x, i, h, type])/2, {i, 0, n - 1}], 3]

Manipulate[ Show[Plot[f, {x, 0, 15}, PlotStyle -> Black,

PlotLabel -> Grid[{{"estimated area: " <> ToString[estimatedArea[f, x, n, a/n, type]]}, {"integral: " <> ToString[N[0a f x, 3]]}}]],

Plot[f, {x, 0, a}, PlotStyle -> Black,Filling -> 1 -> {0, Opacity[。25, Blue]}],

Graphics[{Opacity[。4], Table[rectangle[f, x, i, a/n, type], {i, 0, n - 1}]}],

Graphics[{Red, Line[{{a, 0}, {a, 150}}]}], ImageSize -> 360], {{f, x, "function"}, {(x - 2)^2 -> "(x-2\!\(\*SuperscriptBox[\()\), \(2\)]\)", (x - 3)^3 + 20 ->"(x-3\!\(\*SuperscriptBox[\()\), \(3\)]\)+20", Sqrt[x] -> "\!\(\*SqrtBox[\(x\)]\)"}, ControlType -> SetterBar},{{type, 2, "type"}, {1 -> "left", 2 -> "right", 3 -> "midpoint"}, ControlType -> SetterBar}, {{a, 15, "upper limit a"}, 0。01, 15, Appearance -> "Labeled"}, {{n, 10, "number of quadrilaterals"}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"}, SaveDefinitions -> True]

运行得出下图：

上图中可以看出，在分成30个区块后，那些区块的估计值为916。954，较接近极限值917。333，而当滑块指到50时，估计值为917。197，可见，分得越小，计算就越精确，也就越接近极限值。同样，当点击type中的“right”(即以小区块右边点的函数值作为高来计算小矩形的面积)按钮时，区块的估计值为948。326，而点击左边的“left”按钮(即以小区块左边点的函数值作为高来计算小矩形的面积)，区块的估计值为886。886。而随着区块的增加，其区块的估计值在不断的变化，区块分得越小，计算就越精确。

通过演示，不同的函数，极限值结果不一样，不同的算法，极限值结果也不一样，不同的区块数结果也不一样。但有一点，区块分得越细，越接近极限值。对照定积分的定义，不管如何分，当相邻两点间距离的最大值趋于0时，区块面积的和总趋于某个固定值，这样，极限的定义就容易理解了。

【参考文献】

练学。“定积分概念”教学拾零[J]。湖北三峡职业技术学院学报,2007,4(1):84-86。