复变函数论课堂教学法的几点探索复变函数论课堂教学法的几点探索

徐瑞萍

复变函数论是高等学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，是数学分析的后继课程.它的理论和方法已深刻渗透到代数学、解析数论、微分方程、计算数学等数学的各个分支，同时在物理的流体力学、热力学和其他的科学领域及科学技术中都有广泛应用.所以，无论从知识结构的承前启后，还是从能力的培养方面，复变函数论的学习都起着十分重要的作用.然而，由于改革的需要，复变函数论课程的总课时减少，如何在有限的课时内科学合理地安排教学内容，提高教学质量，使学生既掌握理论知识，又学会学习方法，培养创新和自主学习的能力，是教师面对的一个亟待解决的问题.下面几种教学法是笔者在复变函数论课堂教学中的有益探索.

一、善于运用类比教学

复变函数是数学分析的后继课程，是数学分析的继续和发展.复变函数中许多概念和定理都与数学分析相应理论类似，但又有发展.在讲授中，要指出联系，强调区别，采用类比的方式讲解相关内容是复变函数教学的重要方法之一.

例如，复变函数中，初等函数的定义方式和概念的形式与数学分析中的定义有很大的不同，性质也出现许多相异的地方.例如：实分析中指数函数是单调递增的函数，复数域上指数函数是以2πi为基本周期的周期函数；实分析中正、余弦函数是有界的，而复数域上正、余弦函数是无界函数；特别是复数域上的对数函数、幂函数、反三角函数和反双曲函数均为多值函数，这一点增加了复变函数研究的复杂性和难度.

在教学中，引导学生比较实、复分析中概念、定理的异同点，使得学生不断思考，积极创造，用这种方法建构知识体系，完善知识结构，这样既能夯实实分析基础，又能在复变函数学习中达到事半功倍的效果.

二、开展研究性教学

研究性学习是一种研讨式学习，是指教师以课程内容和学生的学识积累为基础，引导学生创造性地运用知识的能力，自主地发现问题、研究问题和解决问题，在研讨中积累知识、培养能力和锻炼思维的新型教学模式.

下面以复变函数论第六章第一节“留数”的学习为例，设计了研究性教学，过程如下：

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教师：前面我们学习了复积分理论，掌握了一些计算复积分的公式和定理，利用所学知识能解决一些复积分的计算，但是在理论与实际问题中常遇到这样的积分：①∫|z| =1ez-1z7dz，②∫|z| =2z51+z6dz.看到这两个积分，学生回忆以前所学的知识，发现它们都不满足前面学习过的柯西积分定理和柯西积分公式的条件，因此都不能直接用已学知识来计算.

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于是学生开始提出一些问题.

甲：如何计算被积函数在积分周线内有本质奇点的复积分？

乙：如果被积函数在积分周线内的不解析点是阶数较高的极点，有没有简单的方法计算复积分？

丙：如果被积函数在扩充复平面上有有限个不解析点，而且在积分周线内的不解析点又比较多，这样的复积分如何计算？

教师：这一节我们一起来研究解决上述问题，即第六章第一节“留数”.

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下面进行分组探讨，让各小组代表发言，阐明研究方案.

小组1：留数的定义及留数定理、留数的求法

小组2：无穷远点留数的定义及求法

小组3：上述积分的计算.

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教师：通过留数定义、定理的学习，意味着我们可以用它解决数学问题：计算积分∫|z| =21(z+i)10(z-1)(z-3)dz.

问题1：被积函数在扩充复平面上的孤立奇点有几个？分别是什么类型的？

学生：z=-i是10阶极点，z=1和3都是1阶极点，还有无穷远点是孤立奇点.

问题2：被积函数在|z|=2内有1个10阶极点，留数不易直接求，应该怎么办？

学生：通过定理，把求周线内部奇点的留数转化为求周线外部奇点的留数，因此可以求出无穷远点的留数，进而求出复积分.

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通过这节课的讨论，大家互相合作，共同探究，能够积极主动地学习、思考、辨析、迁移和醒悟，实现了从定义、定理学习到应用的完整过程，同学们的潜能得到开发.这对培养学生的发散性思维、求异思维、创造性思维大有益处.

三、教师精讲与学生自学相结合

复变函数中有一些较难理解的内容和较难证明的定理，如采用限制辐角或割破复平面的方法来分出初等多值函数中根式函数与对数函数的单值解析分支、柯西定理的古莎证明等，都是一些重要而较难理解和证明的内容，对这部分知识教师要在认真备课的基础上向学生精讲.对一些容易理解的内容，如复数、复平面上点集、导数的定义和求导公式等，这些内容与数学分析中的内容几乎是一样的，如果再讲，既浪费了时间，学生听起来也不会感兴趣.教师在课堂上可以作一些指导性的提示，让学生自己阅读，培养他们的阅读能力和自学能力.总之，合理地安排教学内容，给学生自学的机会，要把“教学生学会”变为“教学生会学”，既减少了学生学习这门课程的困难，又科学合理地利用了课时.

总之，复变函数论的课堂教学改革是一个不断探索与实践的过程，需要教师全身心地投入，不断尝试与总结，才能做好复变函数的教学工作，切实培养学生的探究能力和自主学习的能力.利用上面的方法，笔者所教数学本科专业2008～2011级的学生都对复变函数课程表现出了很大的兴趣，取得了很好的教学效果。