求数列通项公式的常用方法

张国庆

数列与高中数学的其他知识有着紧密的联系，具有较强的综合性和实用性，而数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点.下面谈谈求数列通项公式的几种常见的方法.

一、观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）变形为：10-1，10-1，10-1，10-1，……

∴通项公式为：10-1

（2）变形为：1/2，1/2，1/2，1/2，……

∴通项公式为：1/2

观察法就是要抓住各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系.

二、定义法

例2：已知数列{a}是公差为d的等差数列，数列{b}是公比为q的（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f（x）=（x-1），且a= f（d-1），a=f（d+1），b=f（q+1），b=f（q-1），求数列{a}和{b}的通项公式.

解：（1）∵a=f（d-1）=（d-2），a=f（d+1）=d

∴a-a=d-（d-2）=2d

∴d=2

∴a=a+（n-1）d=2（n-1）

又b=f（q+1）=q，b=f（q-1）=（q-2）

由q∈R，且q≠1，得q=-2

∴b=b·q=4·（-2）

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比.

三、叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…，求此数列的一个通项.

解：已知a-a=3，a-a=5，…，a-a=2n-1，…

各式相加得：a-a=3+5+…+（2n-1）=n-1

∴a=n+5

四、叠乘法

例4：设数列{a}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）a-na+aa=0，求数列{a}的通项公式.

解：∵（n+1）a-na+aa=0，可分解为［（n+1）a-na］（a+a）=0

又∵{a}是首项为1的正项数列，∴a+a≠0，∴（n+1）a-na=0，由此得出：a=2a，2a=3a，…，（n-1）a=na，这n-1个式子，将其相乘得：a=na，又∵a=1，∴a=，∵n=1也成立，∴a=（n∈N*）.

五、归纳、猜想法

如果给出了数列的前几项和能求出数列的前几项，我们就可以先根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明之.

例5：已知数列{a}满足a=1，S=a，求通项a.

解析：由a=1，当n=2时，a+a=a，a=2a=2，当n=3时，a+a+a=2a，a=3，同理可得a=4，……猜想得a=n，下面用数学归纳法证明.

（1）当n=1，2，3时，已验算成立；

（2）假设n=k时，猜想成立，即a=k，当n=k+1时，S=a，又S=a=，二式相减，得a=a-，∴a=k+1，即n=k+1时猜想也成立，由（1）（2）知对于一切自然数n都有a=n.

六、待定系数法

例6：数列{a}满足a=1且a+2a=1，求其通项公式.

解：由已知，a+2a=1，即a=-2a+1

令a+x=-2（a+x），则a=-2a-3x，于是-3x=1，故x=-

∴a-=-2（a-）

故{a-}是公比q为-2，首项为a-=的等比数列

∴a-=（-2），a=-（-2）

评注：一般地，当A≠1时，令a＋x=A（a+x），有a=Aa＋（A-1）x，则有（A-1）x=B得x=，从而a＋=A（a+），于是数列{a＋}是首项为a+、公比为A的等比数列，故a＋=（a+）A，从而a=（a+）A-；特别地，当A=0时，{a}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{a}为等比数列.

七、倒数法

例7：已知数列{a}满足a=1且a=，求a.

解：由a=，有==+，即-=

所以，数列{}是首项为=1、公差为d=的等差数列，

则=1+（n-1）=，从而a=.

此外，还有公式法和辅助数列法等，由于篇幅关系，这里不再赘述.