一堂课达至的教学新境界

张春莉

一、学数学就是做中学的过程。

华老师在《角的度量》一课中创设了这样一连串的学习活动：让学生先在量角器上找角，然后在纸制量角器上画角，最后再用量角器量角。

有人一定会问：绕这么一大圈才到量角，是舍近求远，还是画蛇添足呢？

还有人会问：在教师还没有介绍量角器的有关知识前，就让学生自己去找角，行吗？在教师还没有介绍量角器量角的步骤前，就让学生利用量角器的原理画角，行吗？

提出这样的疑问，不是没有一点道理。我们可以看到，即使是初中阶段的学生，当我们给他们提一个以前没有见过的问题时，他们中许多人的第一反应是拒绝解决这个问题，他们会说：“我们老师还没有教过呢！”调查还发现，许多学生认为他们在做数学题时，每一个问题都應该有一个事先确定的解答方法，而且答案或结论也应该是十分明确和唯一的，不应该期望他们去解决一个陌生的问题或答案不明确的问题。这种问题类型熟悉、解决方法明确、答案唯一定向的数学观点是对“做数学”的一种歪曲理解，它不太让人兴奋。事实上，只有少数学生只因为追求好的数学成绩而对数学充满热情，而且我们也不得不承认，这种由于外在的动机而引发学习的学生常常不是教室里最好的数学观念的思考者。

那么，什么叫做“做数学”？现代数学教育观认为，“做数学”的过程是一个探索模式与秩序的科学的过程，它需要付出努力和花费时间。没有理解的重复练习虽然花费时间，却不是在“做数学”。综观各国的数学课程改革文献，“做数学”的描述常常是与下面所列出的这些动词联系在一起的：观察、判断、描述、探索、表达、解释、调查、形成、预测、联系、发现、发展、解决、建构、推理、证明、验证、应用等。描述“做数学”的行为动词其实都意味着一些要求学生主动付出努力的活动，学生们需要动手操作，“冒险”猜测，提出和解释自己的观点和解法，说服别人接受自己的观点或修正自己错误、不完善的观点。当学生们从事这样的活动时，他们就不可能只是一个被动的观察者和模仿者，他们必须积极地思考其中所包含的各种数学观念。

为了创设一个“做数学”的环境，教师的角色是在课堂里营造一种探究、质疑、推测的学习氛围。在这一环境中，问题由教师或学生自己提出，学生在教师的引导下努力地寻找解决的方法，而知识和技能作为“做数学”的一个结果被自然而然地习得和掌握。我们看到，华老师由于思考了“量角的本质是什么”（重合）从而找到了一个邀请学生来做数学的切入口，如果学生在量角器上清晰地找到角了，进而能在纸制量角器上画角，量角的问题就能迎刃而解。在交流这些角中有没有不同的角的过程中，学生很自然地接触到了什么叫“中心点”、“0度刻度线”、“内外圈刻度”、度数的写法等，特别对于内外圈刻度的作用和相互之间的关系有了理性的认识。这就是教师的智慧。只管教不管学，教学设计自然容易，但难点如何攻破就不敢保证；只管学不管教，教学活动自然轻松，但学生的错误如何矫正同样也无法保证。华老师是理解了陶行知先生提出的教育真谛的：“先生的责任不在教，而在教学，而在教学生学。”“事怎样做就怎样学，怎样学就怎样教；教的法子要根据学的法子，学的法子要根据做的法子。”华老师在学生一系列的学习活动中，通过轻松、幽默的对话，渗透有分量、有内容的教学，通过创设一个个的情境，提出一个个启发性的问题，把学生的学习活动引导出来，把学生的思维调动起来，把学生错误的概念理解和操作行为暴露出来，而教师在其中动态地把握各个教学时机适时地介绍有关的事实性概念和操作步骤，并充分利用学生生成的资源促进学生建构起角的大小的概念和对量角器量角原理的理解。这正是我们一直渴望追求的让学生自然呼吸的教学境界：教学“无痕”，精彩“有痕”。

二、技能课也需要还学生一个“知情权”。

长期以来受东方师道尊严的儒家文化和考试文化的影响，课堂上让学生服从教师的绝对权威成为天经地义的事情，要求学生们不管懂不懂、理解不理解，只管把教师和书上的话先记住、先背熟。我们却很少去思考，学生是否有权知道，他们为什么要学习这些知识，他们学了这些知识之后又有什么用。

数学教育学者戴维斯（Davis）在讨论“成绩绝对优异”的高中学生时，得出的一个结论是，当你仔细地去观察这些“明显成功”的学生处理数学问题时，会发现他们拥有很多荒唐的错误概念，而让他们成功地通过考试的原因在于：大多数的数学教学，从小学到高中，甚至到大学，都按照可以被称为“做这个，然后做那个，然后做这个”的仪式在教学。与此同时，教师们也常常将这些正确执行的仪式接受为该学生学业成功的充足证据。

在这样的教学方式和评价方式下，学生们在数学课上实际学到的是记住一些精确定义的形式，执行大量的标准化的程序，求解出那些能清晰地界定出层级的练习题的答案。其结果是学生掌握大量的数学知识和技能，却不知道数学家们思考和研究问题的方法；掌握许多运算规则，却不能灵活地解决生活中一个简单的实际问题。

其实这种为什么要学习这些知识，学了之后又有什么用的“知情权”是需要教师们格外珍视和引导的。通过引导学生思考前辈们创造或规定出的这些知识背后是否有道理和值得学习的思维方法，正是在促进学生逐渐成长为一个具有独立见解、善于理性思考、积极开拓应用以及勇于创新变革的人，即使是技能课也不例外。

华老师在这节课的教学设计之初问了一个多么好的问题：“学生感受到了量角的用处吗？量角的大小是屠龙之技，还是生活中必不可少的技能？”如果是生活中必不可少的技能，那就应该在生活中发现它的用途，利用它的原理设计一些物体或解释一些现象。华老师在这节课中所创设的滑梯情境，就是从一开始就在主动地把这个“知情权”还给学生。当学生发现角的大小是一个影响倾斜度的关键因素，只有准确地测量出它们的大小才有可能研究和有效地刻画出滑梯的倾斜度时，学习的必要性已不言自明。而之后的找角、画角、量角，华老师又是在一点点地把学生对于有关“中心点”、“内外圈刻度”等规定的“知情权”还给学生，让学生明白这样称呼它们、利用它们进行度量是有道理的，而后华老师在学生练习量角快结束的时候，适时地推出“哪个位置射门进球率最高，谁放的风筝高，椅子的靠背多弯才合适”等一系列感性又贴切的实际问题情境时，学生的学习活动被推到了一个高潮，他们在辛苦的探索、在暂时的错误之后，终于品尝到了胜利的果实、幸福的味道。

总之，这节技能教学课让我们看到了希望，看到了一个充满教师智慧、敢于破旧、勇于创新的教学新境界。愿这样的课多些、再多些。

（作者单位系北京师范大学教育学院）