剖析见本质 策略促提高

摘要：在初中数学学习的旅程中，二次函数占据了核心地位，其中，最值问题尤为关键.它不仅考验学生们将数与形巧妙结合的思维能力，还着重训练他们对问题进行分类讨论的技巧.这一知识点在初中数学中的应用极为广泛，是学生必须掌握的重点内容.掌握求解二次函数最值的策略，能够显著提升学生的数学解题技巧，为其将来步入高中进一步探索更复杂更深奥的有关函数知识打下坚实的基础.

关键词：二次函数；数形结合；最值

1 对称轴定且自变量范围定

对于有些二次函数的最值求解，若该函数的解析式及定义域均已明确或可通过条件推导得出，则就需紧密结合二次函数的图象与其性质.具体而言，就是要根据给定的自变量x的取值范围，在二次函数的图象上定位，并据此分析出该函数在此区间内的最大值或最小值.这一过程不仅要求学生熟练掌握二次函数的图象特征，还需灵活运用数学分析的方法，以确保求解的准确性和解题效率的提高.

例1 （2024·河南周口初三联考）在探讨单向道路上汽车行驶的规律时，可以将车流视为一种连续的介质，利用流量、速度和密度这三个核心概念来描绘其基本特性.具体而言，车流量q（单位：辆/时）代表单位时间内穿越道路某一特定横截面的车辆数目，而车流速度v（单位：千米/时）则反映穿越该横截面车辆的行进速度，车流密度k（单位：辆/千米）则是指单位长度的道路上所存在的车辆数目.为了配合大数据技术在交通拥堵治理中的应用，我们针对某一路段进行了详细的观测，并记录下某路段车流量q与车流速度v之间关系的部分数据，如表1.

（1）根据已知信息写出q关于v的函数解析式（不用写原因）.

（2）已知q，v，k满足q=vk（v≠0）.

①求当车流量q取得最大值时车流密度k的值；

②若根据以往的路况统计信息，当42≤vlt;48时道路会有轻微拥堵现象，试求当车流密度k满足什么条件时，该路段将出现轻微拥堵.

解析：（1）根据表中信息可知q与v满足二次函数关系，

由抛物线过点（20，1 600），（40，1 600），可知其对称轴是直线v=20+40/2=30，故可设抛物线为q=a（v-30）2+b.

把点（10，1 000），（20，1 600）代入q=a（v-30）2+b，可得a（10-30）2+b=1 000，a（20-30）²+b=1 600.

解得a=-2，b=1 800，所以q关于v的函数解析式为q=-2（v-30）²+1 800.

（2）①由q=-2（v-30）²+1 800可知，当v=30时，q取得最大值1 800.

因为q=vk，所以k=qv=1 800/30=60.

②当v=42时，q=1 512，此时k=36；

当v=48时，q=1 152，此时k=24.

故当24lt;k≤36时，道路出现轻度拥堵.

点评：本题是一道综合应用题，主要考查二次函数的应用，特别是通过待定系数法求解二次函数的解析式，以及探索二次函数在固定区间内的最值问题.解题的关键在于深入理解二次函数的性质，包括其开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素.为了找到二次函数在给定自变量取值范围内的最值，学生首先需要准确绘制或构想该函数的图象，随后根据图象信息，确定在指定区间内的最大值或最小值.

2 对称轴动且自变量范围定

“轴动区间定”问题，是在已知二次函数解析式的基础上，针对题目给定的自变量的取值范围，求解该函数的最值.这类问题的特点是，虽然自变量的取值范围不变，但二次函数解析式中的参数变化会导致函数的开口方向和对称轴发生变化，进而影响函数的最值.因此，解题时需要首先明确二次函数的解析式，然后仔细分析参数变化如何影响函数的开口方向和对称轴，最后根据这些变化，结合给定的自变量的取值范围，求解函数的最值.这就需要学生深入理解二次函数的图象和有关，并具备解决二次函数有关较为复杂的问题能力.

例2 （2024·河北石家庄初三检测）已知二次函数y=ax2-4ax+3a（alt;0）的图象与x轴交于如图1所示的两点A，B，与y轴交于点C，且OB=OC.

（1）求二次函数的解析式；

（2）将该二次函数的图象进行平移，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为（m，m²+2）（m≥0），若当-1≤x≤2时函数的最大值为7，求m的值.

解析：（1）由ax²-4ax+3a=a（x²-4x+3）=0时，

得x₁=1，x₂=3.

所以点A（1，0），B（3，0）.

当x=0时，y=3a.

所以C（0，3a）.

因为OB=OC，

所以-3a=3，解得a=-1.

故二次函数的解析式为y=-x²+4x-3.

（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1.

因为将函数图象平移后顶点坐标为（m，m²+2），

所以平移后的函数解析式为y=-（x-m）²+m²+2，

则平移后函数图象的对称轴为直线x=m.

若0≤mlt;2，则当x=m时函数取得最大值7，

即m2+2=7，解得m=-5或m=5，均不符合题意，舍去.

若m≥2，则当x=2时函数取得最大值7，

即-（2-m）²+m²+2=4m-2=7，解得m=9/4，符合题意.

综上所述，m的值为9/4.

点评：在处理二次函数中的“轴动区间定”问题时，首要步骤是从函数解析式中提取关键信息，这些信息是绘制函数基本图象的基础.图象绘制完成后，应根据题目要求画出固定的自变量的取值范围对应的区间.同时，

关注开口方向和对称轴，因为它们是决定函数最值的关键因素.接下来，根据分类讨论思想，要对参数变化导致的对称轴位置的的不同情况进行详细讨论.通过这种方法，我们可以准确地求解出在不同参数下函数的最值.

3 对称轴定且自变量范围动

求解“轴定区间动”最值问题，常规思路是依据题目信息找出二次函数的解析式，同时根据题意和有关性质等确定自变量的范围，然后继续探索函数的最值问题.自变量的取值范围具有不确定性，这意味着我们截取的二次函数图象也会相应地发生变化.因此，解决这类问题的关键在于，对参数的不同取值进行分类讨论，以确保能够准确地找到在各种情况下函数的最值.这需要学生掌握有关二次函数基础知识点，并具备灵活的数学解题方法和对问题的深入分析能力.

例3 （2024·浙江金华初三开学检测）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）.

（1）求b，c的值；

（2）当-2≤x≤k时，求y的最小值（可用含k的代数式表示）.

解析：（1）因为函数y=x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），则

c=3，3=62+6b+c，所以

b=-6，c=3.

（2）由（1）知y=x²-6x+3=（x-3）²-6.

若k≤3，则当-2≤x≤k时，y随x的增大而减小.

故当x=k时，y有最小值，且最小值为y=k2-6k+3.

若kgt;3，则当-2≤x≤k时，抛物线的顶点处于最低点，

故当x=3时，y有最小值，且最小值为-6.

综上所述，当k≤3时，y的最小值为k2-6k+3；当kgt;3时，y的最小值为-6.

点评：本题是一道综合性较强的题目，主要考查二次函数的最值问题.解题的关键在于熟练掌握二次函数的特点，并运用分类讨论思想进行分析和计算.在求解有关“轴定区间动”类型的二次函数最值问题时，需要采用数形结合的方法.首先，根据题目要求画出固定的对称轴对应的直线.其次，根据题目给出的二次函数信息，分析该函数随自变量范围的不同而最值的变化情况.这样，就可以确定函数在动态区间内的最值.最后，通过分类讨论，可以求解出各种情况下的函数最值.