一道抛物线动点中考试题的考查特征及解题路径分析

1 真题再现

2 试题特征

2.1 基于函数解析式的推导与参数求解

在中考抛物线动点问题中，通常是先要求学生由已知条件推导出二次函数的解析式.这一部分常常涉及对二次函数基础知识的灵活应用，如将已知点代入函数式、利用对称性或最值等条件解出参数.题目通过给出不同的已知条件（如过定点、与坐标轴的交点或最小值），考查学生对二次函数解析式的掌握程度及推导能力.在本题中，已知二次函数的图象经过点（0，-3）和（-b，c），并结合条件abgt;0，学生需先求出函数的二次项系数a和常数项c，验证其合理性.这一部分考查学生对二次函数参数与图象性质之间关系的深刻理解.

2.2 结合几何图形的动态分析与综合应用

中考中的抛物线动点问题，通常结合几何元素如垂线、交点、三角形等，要求学生在动态变化的情境下分析几何图形的性质.题目通过设置动点P在抛物线上运动，进一步要求学生分析点P在运动过程中与其他几何元素（如直线AC、垂线等）之间的动态关系.这种题型不仅考查学生对抛物线几何性质的理解，还考查学生在动态条件下建立数学模型的能力.以本题为例，动点P在y轴左侧的抛物线上移动，考生需要通过对动点P与点C、点B之间的几何关系进行分析，找到动点P的位置，这一过程要求学生具备较强的空间想象力和动态分析能力.

2.3 动点位置与面积或比例关系的推理及证明

抛物线动点问题的难点往往在于结合特定的面积或比例关系进行分析与求解.题目通常设置动点的位置，使得某些几何元素（如三角形、梯形等）的面积或边长比例满足特定的条件，从而考查学生的推理与证明能力.在本题中，要求判断是否存在动点P，使得S_△PCE/S_△CBE=3/8.这一部分要求学生将代数运算与几何性质相结合，通过分析面积的比例关系，找到满足条件的动点P的位置.这不仅考查学生的综合解题能力，还要求学生在动态情境下合理地运用比例与相似三角形等几何知识进行推理与证明.

3 解题路径

3.1 准确建立函数解析式，掌握抛物线的基本性质

解答抛物线中动点试题的第一步是通过已知条件准确建立二次函数的解析式，并掌握其基本性质.这一步是解题的基础，要求学生能够灵活运用二次函数的顶点形式、一般形式及其几何特征.例如，在本题中，已知二次函数的图象经过点（0，－3）和（－b，c），且abgt;0，学生需首先代入这些点的坐标，结合条件推导出a和c的值.在此基础上，进一步利用二次函数的最值、对称轴、与坐标轴的交点等特征，为后续步骤打下坚实的基础.这一过程不仅是对学生函数知识的考查，还要求他们准确判断和选择最优的推导路径，确保得到正确的解析式.

3.2 利用函数与几何元素的关系，确定关键点的坐标

在得出抛物线的解析式后，下一步是利用解析式与几何元素的关系，确定题中关键点的位置.此步骤通常涉及函数与x轴、y轴的交点及其他重要几何元素的关系.例如，在本题中，要求求出二次函数的解析式，并确定其与x轴的交点A，B及与y轴的交点C的坐标.学生需通计算出这些交点的具体坐标，进一步明确抛物线的图象及其与几何元素的相互关系.这一过程是将函数的代数特征与几何图象结合的关键步骤，为后续分析动点P的运动路径及其对图形的影响奠定了基础.

3.3 构建动态几何模型，分析动点P的位置及其运动路径

在确定关键点的坐标后，需构建动态几何模型，分析动点P的位置及其运动路径对图形产生的影响.这一步是解题的核心，要求学生结合动点的运动条件，深入理解动点与其他几何元素的动态关系.例如，本题要求分析动点P在y轴左侧抛物线上的运动，并研究其与AC直线、x轴的垂线、以及三角形PCE和三角形CBE之间的关系.这一步要求学生准确分析动点P在不同位置时对几何图形面积或比例的影响，结合几何性质，如相似三角形、面积计算公式等，进一步推导出特定条件下动点P的精确位置.

3.4 综合代数与几何关系，验证并推导满足条件的解

在构建了动态几何模型并分析了动点P的运动路径后，最后一步是综合代数与几何关系，验证并推导满足题目要求的解.这一步需要学生将前几步的结果整合起来，通过联立方程、比例关系或面积计算公式等方法，找出满足特定条件的动点P的位置或证明其不存在.在本题中，要求验证是否存在动点P使得S_△PCE/S_△CBE=3/8，学生需结合前面分析的几何关系，运用比例性质或相似三角形的性质，推导出满足该比例的动点P的具体横坐标，或者证明该条件下动点P不存在.这一过程要求学生具备较强的综合解题能力和逻辑推理能力，是对整个解题思路的最终检验.