选用合适的方法，求抛物线的方程

抛物线的方程主要有三种表示形式：（1）顶点式；（2）两点式；（3）一般式.在求抛物线的方程时，往往需结合所给的条件，选择合适的方法进行求解.接下来，通过几个例题，介绍一下抛物线方程的几种求法.

一、设顶点式方程

抛物线顶点式方程为[y=a（x-h）²+k]，它的取值决定着抛物线的开口方向，当agt;0时，抛物线的开口向上；当alt;0时，抛物线的开口向下，其中h和k分别是抛物线顶点的横坐标和纵坐标.若已知抛物线的顶点坐标，以及抛物线上另外一个点的坐标，则可根据顶点的坐标设出抛物线的顶点式方程，再把另一个点的坐标代入方程求出a，即可得到抛物线的方程.

例1.求顶点为（-2，3），且过点（0，-1）的抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为[y=a（x-h）²+k]，

因为抛物线的顶点为（-2，3），

则h=-2和k=3.

所以抛物线的方程为[y=a（x+2）²+3]

将点（0，-1）代入上述方程中，得[-1=4a+3]，

解得[a=-1]，

因此抛物线的方程为[y=-（x+2）²+3.]

由于已知抛物线的顶点坐标和另外一个点的坐标，所以直接设出抛物线的顶点式方程，将顶点坐标和另外一点的坐标代入方程，解方程求得a、h、k，即可求得抛物线的方程.

二、设两点式方程

抛物线的两点式方程为[y=a（x-m）（x-n）].令[y=0]，可得[a（x-m）（x-n）=0]，解得[x1=m]，[x2=n]，则点（m，0）、（n，0）在抛物线上，且是抛物线与x轴的交点.因此若已知抛物线与x轴的交点的坐标，以及抛物线上另一个点的坐标，即可根据交点的坐标设出抛物线的两点式方程，再把另一个点的坐标代入该方程，求出a，就能得到抛物线的方程.

例2.已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），且抛物线过点（-1，-4），求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为[y=a（x-m）（x-n）]，

因为（-3，0）和（1，0）为抛物线与[x]轴的交点，

所以抛物线的方程为[y=a（x+3）（x-1）]，

将点（-1，-4）代入上述方程，

得[-4=a（-1+3）（-1-1）]，

解得[a=1]，

所以抛物线方程为[y=（x+3）（x-1）]，

即[y=x2+2x-3.]

我们根据题中抛物线与x轴的两个交点坐标，设出抛物线的两点式方程，然后将交点、另一个点的坐标代入方程，得到a的值，即可得到抛物线的方程.

三、设一般式方程

抛物线的一般式方程为[y=ax2+bx+c]，其中a表示抛物线的开口方向，令[x=0]，可得[y=c]，即（0，c）为抛物线与y轴的交点.若已知抛物线上任意三个点的坐标，则需先设出抛物线的一般式方程；再把这三个点的坐标代入一般式方程中，建立关于a、b、c的三元一次方程；通过解方程组，求出a、b、c，进而得到抛物线的方程.

例3.已知抛物线上的三个点的坐标分别A（-1，4），B（0，1），C（1，4），求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为[y=ax2+bx+c]，

因为A（-1，4），B（0，1），C（1，4）在抛物线上，

所以这三个点的坐标满足抛物线的方程，

则[a（-1）2+b（-1）+c=4]；

[a×0+b×0+c=1]；

[a×1+b×1+c=4]，

解方程组得[a=3]，[b=0]，[c=1].

则抛物线的方程为[y=3x2+1].

先设出抛物线的一般式方程；再将三个点的坐标代入到一般式方程中，得到三元一次方程组，即可通过解方程组求出参数a、b、c，得到抛物线方程.

可见，求抛物线的方程，关键是判断已知点是否为顶点、与x轴的交点，根据已知点的坐标，选择与之相应的抛物线方程形式进行求解.一般来说，抛物线的一般式方程的适用范围较广，若无法判断出点的位置，则通常用抛物线的一般式方程求解.