设置挑战性学习任务，助推数学思维进阶

摘要：挑战性学习任务能够通过探索式学习引导学生发展思维，建构理性的知识逻辑链，

促进知识、技能、思想的共融共生，从而实现螺旋式上升，形成高品质的数学核心

素养.本文中以高中数学课本中的一道习题为切入点重构反思，探索以一题多变设计挑战

性任务，实现思维进阶.

关键词：挑战性任务；高中数学；一题多变；思维进阶

高中数学的挑战性学习任务是指在教学中设计的一种具有挑战性、旨在促进学生深度学习和思维发展的学习任务.设置任务意在让学生超越课本内容的简单再现，通过问题激发、合作探究，促使学生面对复杂问题勇于创新尝试，主动建构数学知识，提升数学素养.而数学核心素养是随着思维发展孕育衍生的，在内化数学思想方法及习得数学知识的过程中，个体自我领悟揣摩进而有所提高.下面就人民教育出版社普通高中教科书·数学·必修第一册第43页习题2.1综合运用第10题的教学实践，谈谈如何在高中数学课堂中设计挑战性任务，推动智慧成长.

任务一：巧铺垫，层递推进拾级上.

思维从问题开始，数学学习离不开解题.将要讲解的题目看成一个复合命题，对与简单命题相似、相异知识点进行分解、转换、组合，给出若干道铺垫题，然后将需讲解的问题列出.通过一系列的逐级练习，促使学生的思维沿着教师精心铺设的阶梯，拾级而上、层递推进，让所有学生的思维活动在不知不觉中进入较高层级.

铺垫题1" 大家都有这样的生活经验，用餐时若嫌汤淡了，只要加一点盐，味道就浓了，你能说一下道理吗？

铺垫题2" 已知b g糖水中含有a g糖（bgt;agt;0），再添加m g糖（mgt;0）（假设全部溶解），糖水变甜了.你能用一个数学式子表达这个意思吗？

该题与上题同出一辙，不同之处是对问题进一步量化，并让学生将这一事实表示为一个不等式，非常自然地沟通了生活与数学之间的联系，给了学生一个提炼生活问题的数学化模板.学生通过自主分析、相互探讨，归纳出如下几个结论：

①“甜、淡”程度的表示——用浓度；

②“加糖”过程的反映——把一个正数分别加在分式的分母和分子上；

③“变甜、变淡”状态的数学表达——用不等式.

于是得到核心例题：已知a，b，m均为正实数，求证：ablt;m+am+b.

不管是传授知识，还是课堂教学，均是在引领学生发展思维.为提高学生的整体思维，必须对学生原本存在的机械性记忆、低水平认知及选择性罗列做出改变.选择现实中的生活实例，以对话探究和对话思考为主，向创新性、情境性、挑战性和实践性靠拢.上面把数量关系写成不等式，提供了一个简单又典型的数学建模过程，让学生通过讲述自己的认识来解释同伴的困惑，并提出自己存在的问题与同学探究，使思维得到提升.比如，有的学生在探讨中还得出了结论：bgt;agt;0时，f（x）=x+ax+b在x∈（0，+∞）上是增函数.

如上通过铺垫题使认知转换，促进学生对问题的理解朝着更高层次的水平逐级发展.

任务二：思证明，由表及里深认知.

提问：如何证明这个问题？

证法一：ab－m+am+b=（a－b）m（b+m）b.由a，b，m均为正实数且alt;b，知ab－m+am+blt;0，从而ablt;m+am+b.

证法二：要证ablt;m+am+b，只需证ab－m+am+blt;0，即证（a－b）m（b+m）blt;0，由已知该式显然成立.

…………

教师讲评并完善多种证法，归纳总结了比较法、分析法、综合法这三种常规证明不等式的方法，同时对单调性法、数形结合法等做了点评.

为了寻求学生的最佳学习路径，设计了铺垫题1、铺垫题2这样在学生最近发展区的问题，并且通过对不等式证明的探讨，把所要达成的教学目标包含其中.学生对该例的不同证明方法，体现了他们对不等式证明的不同理解.深度学习的精髓并不在于单纯关注某个具体知识的获取，而是以一种定量化的方式，深入揭示并阐释学生在学习某一主题时所展现出的思考方式和认知路径.通过严谨的证明，推动学生深层解读核心概念，促进学生大幅提高核心素养.

任务三：妙变化，触类旁通一反三.

上面对该例题的处理若止于此，仍属蜻蜓点水式的浅层学习，没能充分挖掘该题隐藏的丰富内涵，教师应根据实际情境多变多拓，变中出新，拓中求活.

变化1：已知a，b，m均为正实数，且mlt;b，则不等式ablt;ab－m表示什么？

从分析不等式出发，尝试举出本题对应的具体生活实例，借助生动的形式呈现逆向思维的非凡魅力和实际意义，培养学生全面分析、转换视角及深入探讨问题的能力.

变化2：通常观点认为，民用住宅的窗子所占面积应当少于室内地板的面积，然而窗、地面积的比不宜低于10%的标准，比越大，室内光线越充足.假如同时对窗户和地板的面积进行等量增加，那么住宅的采光效果是变好了还是变坏了？

要善于从情境中抽象出问题本源，从变化中寻求不变的本质.依托精心设计的活动情境，引领学生沉浸于创编中，相互甄别辨析，以积极主动的姿态，深入数学的内在逻辑结构与意义殿堂，发掘数学知识深邃的价值内涵.

提问：你能根据上述问题找出生活中与之相关的命题吗？

这一问题的提出为学生的思考开辟了更宽广的领域，反应迅速的学生已经明确了探究的方向.引导学生从多个角度和层次探讨问题，从而在深度思考过程中逐渐提升数学素养.

任务四：善拓展，融会贯通纵横连.

考虑到个人能力差异，教育的核心任务不仅仅是传授知识或技能，更重要的是挖掘并充分发展每个学生的内在潜能.在此思想指导下，挖掘问题拓展空间：

提问：上述铺垫问题2我们一直局限于1杯溶液，若是2杯、3杯甚至多杯、浓度相同或不同的溶液，又有什么样的结论呢？

拓展1：把2杯到3杯浓度相同的糖水倒入到1个大杯中，糖水的浓度并不会发生任何变化.由此，列出等比定理.

拓展2：如果把浓度不同的糖水倒入到1个大杯中，浓度必定会变化.鉴于此，可知“中间不等式”的必要形式和必要因素.

提问：当出现两样或多样东西时我们常考虑它们的均值，对此你们又有什么想法？

拓展3：配制两种不同浓度的糖水，它们之间有一个居中的浓度值.把它们倒入大杯混合后，重新形成新的浓度.请问，哪个浓度更大一些？

拓展4：如果0lt;mlt;alt;b，那么（" ）.

A.cosa+mb+mlt;cosablt;cosa－mb－m

B.cosablt;cosa－mb－mlt;cosa+mb+m

C.cosa－mb－mlt;cosablt;cosa+mb+m

D.cosa+mb+mlt;cosa－mb－mlt;cosab

拓展5：如果0lt;mlt;alt;b，那么（" ）.

A.sina－mb－mlt;sinablt;sina+mb+m

B.tana－mb－mlt;tanablt;tana+mb+m

C.log2a－mb－mlt;log2ablt;log2a+mb+m

D.12a－mb－mgt;12abgt;12a+mb+m

拓展6：设是{an}由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明lg Sn+lg Sn+22

lt;lg Sn+1.

拓展7：对一切大于1的自然数，求证：1+13＼51+15＼5……＼51+12n－1gt;2n+12.

拓展4、拓展6及拓展7均为高考试题.通过以上分析，可以深刻体会到：利用“糖水不等式”比较大小，不仅直观简便，而且可对问题的理解更深刻透彻.这就启发我们在以后学习一些重要知识时，不仅要掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的.

纵观以上挑战性任务，从教材中的不等式出发，因赋予了生活背景，问题变得生动鲜活.教师精心设计逐层递进的问题，引导学生参与思考并分享交流，从规律中创造出极富个性与创造力的多样化表达.在探索、质疑、挑战和解答的过程中，通过相互间的筛选、剔除和分析，学生的思维更开阔，能力得到提升.通过这样的方式设计综合性的挑战学习任务，实现从单一技能到综合知识运用的跨越，为学生的全面发展奠定基础.学生数学核心素养的提升是一个长期的实践过程，是润物细无声的过程.只要用心浇灌，花朵自会绽放.教育亦如此，只要用心引导，学生自然会在知识的海洋中茁壮成长.实现数学教学对学生成长的深远价值.