数形结合思想赋能初中数学函数教学提质增效的路径研究

摘 要：随着科技的飞速发展，数学教学正面临着前所未有的挑战与机遇，特别是初中阶段的函数教学，作为数学学科的重要内容，对学生的逻辑思维、问题解决能力及数学素养的培养起着至关重要的作用.基于此，文章探讨数形结合思想在初中数学函数教学中的应用路径，通过分析数形结合思想在初中数学函数教学中的价值，提出行之有效的教学策略，以期为初中数学教学提供参考.

关键词：数形结合思想；初中数学；函数教学；提质增效；教学路径

中图分类号：G632 ""文献标识码：A"""文章编号：1008-0333（2025）02-0023-03

收稿日期：2024-10-15

作者简介：沈小山，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

在初中数学教学中，传统的函数教学方式往往过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实际需求和兴趣点，导致教学效果不尽如人意.数形结合思想作为一种将数量关系和空间形式相结合的教学思想，为解决上述问题提供了新的思路，它强调通过直观的图形帮助学生理解抽象的数学概念和性质，将复杂的数学问题转化为直观易懂的图形问题，从而降低学生的学习难度，有利于提高教学效果.

1 数形结合思想在函数教学中的价值

1.1 增强直观理解，简化复杂概念

在初中数学教学中，数形结合思想的有效运用，能够将复杂的函数关系转化为可视化的图形，使学生在直观的图象中捕捉到函数的本质特征.这种视觉上的直观感受，可以帮助学生建立起自变量与因变量之间的直接联系，从而降低理解难度，使原本晦涩难懂的数学概念变得生动有趣，易于掌握[1].

1.2 促进思维发展，提升解题能力

数形结合不仅仅是一种教学手段，更是一种思维训练的过程.学生在解决问题的过程中，将抽象的数学问题转化为具体的图形操作，不仅能够锻炼逻辑推理和空间想象能力，还能够学会从不同的角度审视问题，寻找最优解.这种思维方式的培养，对于提升学生的解题能力和创新意识具有重要的现实意义[2].

2 数形结合思想在函数教学中的应用策略

2.1 直观展示图形，理解函数概念

在初中数学函数教学中，数形结合思想的运用是培养学生直观感知和逻辑思维能力的有效途径.教师应当巧妙设计教学活动，以函数图象为载体，引导学生从视觉角度捕捉函数的特性.首先，教师需利用平面直角坐标系，精准呈现函数图象，确保图象的准确性和直观性，让学生清晰地看到函数值随自变量变化的规律.其次，在展示图象的同时，教师应适时引入自变量与因变量的取值范围、因变量随自变量的变化情况等内容.通过对比图象与函数解析式，帮助学生建立函数性质与图象之间的联系.最后，鼓励学生动手绘制简单函数图象，亲身实践深化对函数概念的理解，使数形结合思想在学生心中生根发芽，促进其数学核心素养的全面发展[3].

在学习“函数的图象”时，以正方形的面积S与边长x的函数关系S=x2为例，教师可以通过引导学生亲手绘制函数图象，直观地揭示函数变化的趋势及其内在属性.在教学过程中，教师首先向学生介绍正方形面积与边长之间的函数解析式S=x2，并强调根据实际意义，自变量x代表的是正方形的边长，所以它的取值范围为x＞0.随后，教师指导学生选取一系列正数作为边长x的值，如0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4等，并计算相应的面积S.学生通过计算发现，随着边长的增加，正方形的面积呈增加的趋势，这初步体现了函数的单调递增性.接下来，教师指导学生在直角坐标系中，以边长x为横坐标，面积S为纵坐标，绘制上述实数对所对应的点，学生在平面直角坐标系内逐一描出点（0，0），（0.5，0.25），（1，1）等，并尝试利用平滑的曲线连接这些点，形成函数的图象，如图1所示.在动手操作过程中，教师需适时强调图象上的每一个点都代表了边长x与面积S之间的一种具体对应关系.这样的实践操作，不仅能够加深学生对函数定义域、值域及单调性的理解，而且能够亲身体验到数形结合的魅力.

2.2 利用图象解析，深化函数性质

在初中数学函数教学中，教师应引导学生亲手绘制函数图象.通过图象的直观展示，学生能够观察到函数图象的走向、对称性等特征，进而推导出函数的性质.同时，设计互动式讨论，鼓励学生基于图象提出假设，验证函数的性质，如探讨不同系数对函数图象形态的影响.这样，不仅能激发学生的学习兴趣，还能培养学生的观察力、分析能力和逻辑思维能力，从而实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越.

在学习“一次函数”时，教师可先引导学生绘制一次函数y=kx+b（，k和b为常数，且k≠0）的图象.教师可选择几个具有代表性的k值，如k=2，k=0.5和任意b的值，带领学生一起绘制这些一次函数的图象.如图2所示，过点（0，-1）与点（1，1）画出直线y=2x-1；过点（0，1）与点（1，0.5）画出直线y=-0.5x+1.在绘制过程中，教师应强调k值对直线倾斜程度的影响及b值决定直线在y轴上的截距.绘制完成后，教师可进一步引导学生观察这些图象的特征，特别是直线的升降趋势.学生会注意到，当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升；而当k＜0时，直线则从左向右下降，这一直观的视觉体验有助于学生深刻理解一次函数的增减性，即当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.通过这种图形解析的方式，学生不仅能够直观感受到函数图象的变化趋势，还能深刻领悟到函数性质背后的数学逻辑，从而在心中构建起与一次函数性质有关知识的认知框架.此外，教师还可以设计一些探索性问题.比如，如果将k值固定，改变b值，直线会发生什么变化？或当k接近于零时，直线的倾斜程度会怎样变化？这些问题能激发学生的思考，促使他们主动探究函数图象与函数性质之间的内在联系，进而培养其观察、分析和推理能力.

2.3 数形结合解题，提高解题能力

在讲解函数问题时，教师可以先引导学生构建函数图象，通过观察图象的形状、位置及变化趋势，帮助学生理解函数的性质.同时，在遇到具体的函数问题时，教师应鼓励学生尝试画图，将抽象的数学关系转化为直观的图形，再结合所学知识分析问题，以此提高解题的效率和准确性.这种教学方法不仅能够加深学生对函数概念的理解，还能够有效锻炼他们的数学思维，使学习过程更加生动有趣.

在学习“一次函数”时，采用数形结合的思想解决实际问题，可以显著提升学生的解题能力.例如，考虑这样一道函数问题：某直线经过点A（2，3）和点B（4，2），求这条直线的函数表达式，并判断点C（-1，4）是否在这条直线上.教师首先引导学生回顾一次函数的基本形式及其图象特点，接着指导学生在平面直角坐标系内标出点A和点B的位置，并绘制出函数图象.这一过程不仅复习了函数图象的画法，而且能够让学生通过图象直观地感知一次函数的性质.随后，教师指导学生利用待定系数法解出直线解析式为y=-0.5x+4.此时，再次回到图象，验证解析式与之前画出的图象是否吻合，这一步骤强化了数形结合的一致性.最后，为了判断点C是否在此直线上，教师引导学生将点C的坐标代入所得解析式中进行检验，发现点C的坐标不满足直线的解析式，从而得出点C不在直线上.通过这个案例，学生不仅能够加深对数形结合思想的理解，而且还能够在实践中灵活运用数学知识，从而有效提高分析问题和解决问题的能力.

2.4 联系实际生活，应用数形结合

在初中函数教学中，引入数形结合的思想，紧密联系实际生活，能够增强学生对抽象数学概念的理解和应用能力.为此，教师可以选取与学生生活经验相关联的实例.引导学生构建函数模型，绘制函数图象，能够帮助学生直观感受函数的性质及其在现实生活中的体现，促进学生从图形角度理解函数的特征，培养其数学建模和问题解决的综合技能.这不仅能够加深学生对数学知识的理解，而且能够激发其学习数学的兴趣，使数学学习变得更加生动有趣.

在“一次函数”的教学中，教师可以设计这样一个贴近生活的案例：某城市的公交车票价按照乘坐的距离计算，起步价为2元，可乘坐5 km.超过5 km后，每增加1 km加收0.5元.教师首先引导学生将这个实际问题抽象成数学模型，即建立一次函数表达式.为此，教师可提出问题：如果用y表示票价，x表示超出起步价里程数，那么y与x之间的关系如何表示？以此激发学生积极思考.学生会发现，超出起步价的票价y与超出的里程数x之间存在线性关系，从而推导出y=0.5x+2（x≥0）的一次函数表达式.接下来，教师进一步指导学生画出该函数的图象，如图3所示.让学生在直角坐标系中作图，直观展现票价与行驶距离之间的变化关系，通过观察图象，学生能更清晰地理解函数的增减性和函数值的变化规律.此外，教师还可以提出一些具体问题.比如，小明从家到学校需要乘坐10 km，他应该支付多少车费？让学生通过图象找到对应点，进而求解.通过这个案例，教师不仅教授了一次函数知识，更重要的是教会了学生如何应用数学知识解决实际问题，以此增强学生的数学应用意识和实践能力.

3 结束语

在初中数学函数教学中，有效融入数形结合思想，为提升教学效果开辟了新路径.利用直观的图形展示抽象的数学概念，不仅能够深化学生对函数本质的理解，而且能够激发他们的学习兴趣与探索精神.未来，教师应持续创新教学方法，灵活运用数形结合思想，加强数学与实际生活的联系，以此培养学生的问题解决能力，提升学生的数学核心素养.

参考文献：［1］ 王莉果.数形结合思想在初中函数教学中的应用[J].陕西教育（教学版），2024（3）：29-31.

[2] 林欣.数形结合思想在初中数学教学中的应用：以“函数”教学为例[J].新课程，2024（5）：154-156.

[3] 覃仕山.数形结合思想在初中函数教学中的应用：以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例[J].广西教育，2024（1）：58-61.

［责任编辑：李慧娇］