初中函数教学“三部曲”

王鸾

[摘 要]函数教学之难，难于概念的理解，难于性质的掌握，难于实际问题的解决.本文以生活实例厘清概念、以数形结合掌握性质、以数学模型解决问题等方面提出初中函数教学的有效策略.

[关键词]函数教学 概念 数形结合 函数模型

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 16746058（2016）260008

函数内容抽象难懂，没有固定的方法解题.初中生脱离具体对象进行分析，考虑问题时往往割裂了数形之间的联系，不能理解函数与方程之间的内在联系，不能建构函数模型解决实际生活中的问题.

一、引入生活实例，感受函数概念的形成过程

学生往往受负迁移的干扰，凭借自身的“经验”下结论，对函数的概念理解出现偏差.抽象的函数概念依附于具体的生活实例，教师要遵循学生的认知规律，从具体到抽象，从表象到规定，引领学生从生活经验入手，感知生活世界事物间存在的关系.教师要引导学生关注生活中的函数，以函数去解决实际问题，从而激发兴趣，开启思维，逐渐实现从感性的生活经验走向理性的数学思想.如在“一次函数”教学中，教者呈现问题：“小华暑假期间去上海旅游，汽车行驶上高速公路后平均速度为100千米/小时，已知徐州到上海的高速公路全程为590千米，小华想知道汽车从徐州出发后，距上海的路程与汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系.”学生通过阅读、画示意图、分析，得到汽车距上海的路程（s）=徐州到上海的距离（590）-汽车行驶的路程（100t），即s=590-100t.从而运用自变量表示的函数关系引出一次函数的概念.

数学源于生活，生活中有很多学生熟知的实例便于学生理解函数关系.如用“西瓜的单价一定，买西瓜的斤数与支付的钱之间的关系”引出正比例函数.“将一张面值100元的人民币换成50元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的，可得几张？如果换成10元的呢？所换成的面值x元与张数y之间的函数关系”引出反比例函数.“某商店4月份的利润是3万元，5、6月份利润逐月增长，6月份的利润与这两个月利润的月平均增率x之间的函数关系”引出二次函数.学生看待问题的角度也不尽相同，教师要留有让学生讨论交流的机会，让他们逐渐靠近概念理解本质.

二、注重数形结合，依据图像分析函数的基本性质

“数无形时少直觉，形无数时难入微.”函数解析式表示两个变量间的对应关系，而图像描述变量与函数值间的变量关系反映函数的变化规律.将数的精准与形的巧妙结合起来，引导学生挖掘其内在的几何意义，运用数学的视角发现问题，能由数思形、见形思数，提高数形转化的能力.

如“一次函数的图像”一课的难点是“一次函数的图像与性质”.教者让学生绘制y=2x、y=2x+4、y=x-2、y=-x+1、y=-1/2x、y=-3/2x-3的图像，观察这些图像，发现有何特点？这些图像分别经过哪些象限？有什么共同的地方？与哪些量有关？学生通过观察、对比、讨论，归纳出函数中y=kx+b中k、b的值对图像经过象限的影响，当k>0时，函数图像经过一、三象限；当k<0时，函数图像经过二、四象限；b>0时，函数图像经过一、二象限；b<0时，函数图像经过三、四象限.教者将函数y=2x、y=2x+4的图像进行对比，学生会发现两条直线互相平行，从而猜想当k值相等时，两个一次函数的图像是相互平行的两条直线.

又如在“二次函数的图像和性质（1）”教学中，学生通过列表、描点、连线画出二次函数y=x2的图像，学生在观察图像的基础上，提出问题：“你能描述图像的形状吗？图像是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？尝试找几对对称点.图像与x轴有交点吗？如果有，交点是什么？当x<0时，随着x的增大，y随x如何变化？当x为何值时，y值最小？最小值是多少？”教师在教学中并不生硬地“灌输”结论，而是让学生运用右脑构造图像，在理解的基础上掌握二次函数的图像特征.

三、借助数学模型，解决生活实际问题

一次函数、反比例函数、二次函数与现实世界紧密相连，在实际生活中有着广泛的应用.教师要引导学生将实际问题转化为数学问题，抽象成数学模型，经过推理分析求解，然后再还原为实际问题的解.如某服装卖场销售一批品牌裤子，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为扩大销售，减少库存，增加盈利，卖场决定采取适当的降价措施，通过调查，如每件裤子每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若卖场平均每天要盈利1200元，每件裤子应降价多少元？（2）每件裤子降低多少元时，卖场平均每天盈利最多？

在此题中，学生可以设每件裤子应降价x元，那么每件售价为（40-x）元，可以销售（20+2x）件，由此可以列出方程（40-x）（20+2x）=1200解决第（1）个问题，求得两个根x1=20，x2=10.为尽可能“减少库存”，就须“降”的多，因而取x=20.在第（2）题中，每天赢利y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800，当x=15时，有最大值.学生通过求二次函数最值解决实际问题中的最大利润问题，体会二次函数是最优化问题的数学模型之一，感受其应用价值.

（责任编辑 黄桂坚）