初中数学“新定义问题”的教学策略

摘 要：“新定义问题”是初中数学中的一种常见题型.这类问题通常给出新的定义，要求学生在理解新定义的基础上，运用所学知识分析问题和解决问题.这类问题主要考查学生的学习能力和理解能力，是历年中考的热点问题.为此，在初中数学教学中，教师可采取创设情境，激发兴趣；铺垫知识，搭建桥梁；示范解题，传授解题技巧；鼓励合作，引导探究等策略，提升学生的解题能力.

关键词：初中数学；新定义问题；教学策略

中图分类号：G632 ""文献标识码：A"""文章编号：1008-0333（2025）02-0029-03

收稿日期：2024-10-15

作者简介：王德力，本科，一级教师，从事初中数学教学研究.

在初中数学中，因“新定义问题”情境新颖，能够凸显对学生能力的考查而倍受命题者青睐[1].不少学生遇到这类问题时，往往一时难以找到解题思路，是中考中容易失分的题型.在初中数学教学中，教师应重视“新定义问题”教学，运用针对性的教学策略，帮助学生掌握解决这类问题的基本思路与基本方法，从而实现高效解题.

1 “新定义问题”的特点及类型

初中数学“新定义问题”具有创新性、抽象性、综合性特点[2].其中，创新性指情境新颖，学生需运用新定义解决新问题，对学生解题能力的要求较高；抽象性指这类问题一般较为抽象，深刻理解题意，把握新定义的本质，是成功解题的关键；综合性指这类问题有时涉及多个知识点，不仅需要学生运用新定义，而且需要联系所学知识，其综合性较强，学生需具备灵活迁移所学知识的能力.

在初中数学学习中，常见的“新定义问题”包括新定义函数、新定义图形、新定义运算以及新定义概念等.新定义函数问题一般结合函数解析式、函数图象给出新函数的定义，检验学生对新函数性质的理解以及应用熟练程度；新定义图形问题往往对学生常见的几何图形进行新的定义，阐述图形的性质以及特点，要求学生分析解决相关问题；新定义运算问题通常给出新的运算法则，要求学生遵循新的运算法进行相关计算；新定义概念问题，顾名思义，就是给出新的概念，要求学生基于新概念解答相关问题.

2 “新定义问题”的教学策略

2.1 创设情境，激发兴趣

在初中数学教学中，面对“新定义问题”时，部分学生感觉无从下手.为避免出现这种情况，增强学生的解题自信，教师应联系教学内容以及学生的知识储备，创设问题情境，通过课堂互动、解题指引，学生能够感受到解题的成就感，获得良好的学习体验，从而激发学生的学习兴趣，自觉探寻解题思路.

在“二次函数图象”教学中，教师需指导学生深度剖析二次函数图象及性质，提高学生运用二次函数知识分析问题和解决问题的能力.为使学生形成运用二次函数图象解题的良好意识，在课堂教学中，教师可创设“新定义问题”情境，延展教学内容深度，提升学生解决“新定义问题”的能力.

例1 定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.已知某“鹊桥函数”的图象如图1所示，现给出如下结论：①bc＜0；②当x=1时，函数的最大值为8；③m=1时，直线y=x+m和该图象恰有三个公共点；④关于x的方程|x2+bx+c|=3的所有实数根的和为3.其中正确的有.

本题是一道新定义函数问题，它与“二次函数图象”内容紧密对接，是教学内容的进一步延伸.此问题的巧妙之处在于展现了函数图象的对称美，增加解题的趣味性.本题设置了四个小问，既能够考查二次函数知识，又能考查数形结合思想，其难度层层递进.在教学过程中，教师可以引导学生从函数图象视角探寻函数y=ax2+bx+c与函数y=|ax2+bx+c|的内在联系，使其快速找到突破口，掌握解决此类新定义函数问题的解题思路.

2.2 铺垫知识，搭建桥梁

锻炼与提升学生的解题能力是初中数学“新定义问题”教学的重要指向.在初中数学教学中，解答“新定义问题”时，需在理解新定义的基础上，灵活运用已学知识分析和解决新问题.因此，在教学过程中，教师应围绕“新定义问题”情境，引导学生复习回顾相关知识，作好知识铺垫，帮助学生搭建“新定义问题”中新旧知识的桥梁，为问题解决创造有利条件.

“四边形”是初中数学的重要内容，包括四边形、平行四边形、梯形等.在教学中，教师可以此为契机渗透“新定义图形”问题，通过具体问题的分析，学生能够在获得四边形新知识的同时，体会“新定义图形”问题的求解过程，积累解题经验.

例2 定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”.如图2，四边形ABCD为“邻等对补四边形”，其中AB=AD，∠A=90°，CD=1，四边形的面积S为16，则BC的长为.

这是一道“新定义图形”问题，此题给出了“邻等对补四边形”的定义，并给出了部分边、角及四边形的面积，求边BC的长度.本题主要考查学生能否有效挖掘定义中的边角关系，并结合所学知识灵活解决问题.解决本题的过程中，主要涉及补角的定义、勾股定理、一元二次方程的解法等知识.在教学过程中，教师可引导学生回顾与之相关的知识，然后结合图形结构特征，连接BD，将四边形分割为两个三角形，从而得到两个直角三角形.最后利用面积及勾股定理即可构建二元二次方程组，利用代入消元法可将其转化为一元二次方程并求解.

2.3 示范解题，传授技巧

在初中数学教学中，有些“新定义问题”不仅情境新颖，而且比较抽象，学生理解难度较大，尤其是一些“新定义运算”问题，不仅要求学生准确把握运算的“形”，更要理解其背后的“质”.在教学过程中，针对此类问题，教师既要进行解题示范，展示如何进行破题，如何寻找解题思路，又要做好解题方法的归纳总结.同时，教师需给学生预留一定的时间，让学生认真体会、揣摩，还要及时解答学生的疑惑，使其真正消化、吸收，从而达到融会贯通的效果.

在初中数学教学中，“运算”是重要内容.初中数学中的运算主要包括有理数的运算、整式的运算、分式的运算等.在教学过程中，教师可以结合某一运算法则，抛出“新定义运算”问题，通过展示“新定义运算”问题的解题过程，归纳其解题方法，帮助学生深刻理解运算法则，提升学生解决“新定义运算”问题的能力.

例3 定义“[ ]”是一种取整运算符号，即[a]表示不超过a的最大整数.例如，[-1.2]=-2，[π]=3.

（1）计算[2]=，[-3.14]=；

（2）若m和n满足方程[m]+[n]=1，则当n=3-1，请写出m的取值范围；

（3）在平面直角坐标系中，如果坐标为（p，q）的点在第一象限，且满足[p]+[q]=3，则所有符合条件的点（p，q）所构成的图形面积为.

本题是一道“新定义运算”问题，如何正确理解取整运算符号“[ ]”是解题的关键.

对于问题（1），教师可引导学生借助数轴解决问题.首先要求学生在数轴上标出2，-3.14的所在位置，然后寻找其对应点右侧的第一个整数就是所求结果，易得[2]=1，[-3.14]=-4.对于问题（2），教师可引导学生根据已知条件求出[n]的范围，而后判断出m的取值范围.对于问题（3），教师可以引导学生从问题（1）和问题（2）的求解过程中获得启发，运用数形结合思想解决问题.为此，教师可指导学生画出如图3所示的图形，从而为问题解决创造条件.

2.4 鼓励合作，引导探究

在初中数学教学中，有些“新定义问题”倾向于考查学生的综合能力，其涉及的知识点多，求解难度大，导致部分学生无法及时有效突破.在教学过程中，为避免学生的积极性及解题自信心受挫，教师应注重把控“新定义问题”的难度，结合具体教学内容，鼓励学生相互合作，积极讨论，使学生深刻认识问题情境，理解题干的“言外之意”，在思维碰撞和观点交流中，找到正确的解题思路.

“圆”在初中数学中占有重要地位，是历年中考的热点问题，其重要性不言而喻.在“圆”有关知识的教学中，教师应在学生掌握“圆”的有关知识的基础上，注重融入“新定义概念”问题，提高学生运用圆的有关知识分析问题和解决问题的能力.

例4 定义：一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，称该圆为“等弦圆”.现有一斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，则该圆的半径为.

这是一道典型的“新定义概念”问题，概念中阐述了圆与三角形的关系.为方便解决问题，学生需画出图形，然后结合图形理解概念.在解决问题时还需要明确“等弦圆”最大时是怎样的一种情形.在教学过程中，教师可以抛出问题：在什么情况下，“等弦圆”才最大？请根据需要解决的问题，尝试画出图形，并根据图形探究解题思路.在图形的辅助下，学生容易确定当“等弦圆”最大时，对于等腰直角三角形而言，其直角顶点恰好在圆上，如图4所示.这也是题目的隐含条件，发现这一条件是解决本题的关键.

3 结束语

在初中数学教学中，教师应认识到“新定义问题”的教学价值，立足初中阶段的数学教学内容，认真梳理“新定义问题”，依据考查的知识点对其归类，总结不同类型“新定义问题”的特点，做好合理的教学设计.将“新定义问题”与初中数学知识有机融合，并结合学生的认知规律和知识储备，运用针对性的教学策略，帮助学生积累解题经验，树立解题自信，从而实现对“新定义问题”的有效突破.

参考文献：［1］ 刘莫君.函数中的新定义问题探究[J].中学教学参考，2023（32）：32-34.

[2] 陈松林.新定义型题目的解题策略探究[J].中学数学，2022（8）：47-49.

［责任编辑：李慧娇］