初中数学最值问题解决方法探究与分析

摘要：本文中主要探讨初中数学中常用的转化思想，将线段的最值问题转化成我们熟悉的轨迹探究问题，从而提高学生解决问题的能力，拓展学生数学思维方式.

关键词：初中数学；双动点线段；单动点线段；主从联动性；转化思想

初中数学中，平面几何中的动点问题一直是学生所面临的最大难点，其主要涉及动点轨迹的确定，单动点线段、双动点线段等求最值问题.对于单动点线段最值问题，可以用定弦定角确定隐圆、费马点模型、旋转加全等或旋转加相似等解题模型将动点问题转为点到点、点到直线的最短距离.而双动点线段最值问题无法用上述模型求解.双动点线段模型最主要的特点就是所求线段的两端点都是动点，本文中主要研究如何将双动点问题通过所学的特殊四边形、三角形全等、图形平移等初中数学知识转化我们所熟悉的单动点模型去解决.常用的解决方法有以下两种：（1）利用三角形转化为单动点线段；（2）利用特殊四边形转化为单动点线段.

1 最值问题的分类

中考中对于最值的考查，一般是线段的最值（最大值或最小值）.学生在学习中遇到这类问题常常觉得难度较大，思维方式往往比较局限.为了更好地让学生有明确的思考方式，迅速找到突破口，本文中对这类最值问题做了如下（图1）归纳，让学生有一个比较系统的认识和学习体系.

由图1可知，对于常见的线段最值，其本质是点线之间距离、两点间距离.

2 分类例析

2.1 当线段属于单动点情况

2.1.1 动点轨迹是直线时用主从联动性确定直线

例1 如图2，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，求线段OP的最小值.

分析：求线段OP的最小值，需先找出点P的轨迹（O为定点，故OP为单动点问题），根据△ABP是等边三角形且点B在直线上运动，由主从联动性可知，主动点B与从动点P和定点A连线的夹角固定为60°，且距离比为定比1（也就是满足我们常说的瓜豆模型的两个条件），故可知点P的轨迹和点B轨迹一样也是直线.

取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出点P位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出点P位置P2.连接P1P2，即为点P的轨迹，如图3.根据∠BAP=60°可知，P1P2与y轴夹角为60°.作OP⊥P1P2，如图4，此时OP长度最小，又OP2=OA=3，所以OP的最小值为32.

2.1.2 动点轨迹是圆时用定弦定角确定圆

例2 如图5，AB是圆O的直径，M，N是弧AB（异于点A，B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比是.

分析：分别考虑C，E两点的轨迹，点C的轨迹是弧MCN，其对应的圆心角为∠MON，如图6，半径为OM（或ON）.再考虑点E的轨迹，考虑到CE，AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，如图7，可得∠AEB=135°.考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以点E的轨迹是圆，结合∠ADB=90°，可知点D即为圆心，DA为半径，如图8.点E的轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，如图9，所以C，E两点的轨迹圆半径之比为1∶2，圆心角之比为2∶1，故弧长的比值为2.

2.1.3 动点轨迹是其他情况时用主从联动性确定轨迹

例3 如图10，在反比例函数y=－2x的图象上有一个动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（" ）.

A.2

B.4

C.6

D.8

分析：∠AOC=90°且AO∶OC=1∶2（满足主从联动性的两个条件），显然点C的轨迹也是一条双曲线.分别作AM，CN垂直于x轴，垂足分别为M，N，如图11所示.连接OC，OM，易证△AMO∽△ONC，则CN=2OM，ON=2AM，所以ON·CN=4AM·OM，从而k=4×2=8.

2.2 当线段两个端点都是动点的情况

2.2.1 两个动点轨迹都是直线时转化为单动点轨迹

例4 如图12，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点（可以与点A，B重合），延长PD至点F，使得DF=PD，以PF，PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值为.

分析：线段PE的两个端点P和E均为动点，但很明显点P的轨迹是直线AB，所以可考虑确定点E的轨迹，从而为求解PE的最值提供便利.如图13，记PE与CD交点为G.因为四边形PFEC为平行四边形，易证△PGD∽△EGC，则PGGE=PDCE=PDPF=12，所以PGPE=PGPG+GE=13，即PE=3PG.要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可.由图13可知，当PG⊥CD时PG取最小值，此时PG依然为双动点情况，但我们可以通过平移将线段PG转移到CH，利用单动点线段去解决.如图13，过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△CBH中，由∠B=60°，BC=5，可得sin B=CHBC=32，则CH=532，所以PGmin=CH=532.故PEmin=3PGmin=1532.

2.2.2 两动点轨迹分别是直线和圆时用点到直线距离最短求解

例5 如图14，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF=3，CE=2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC，则线段PN的最小值为.

分析：线段PN的两端点均为动点，并且清楚点N的轨迹是直线AD，所以需要先确定点P的轨迹，为后续求线段PN的最值提供思路.先证C，E，P，F四点共圆，取EF的中点O，以EF为直径作⊙O，连接OP，ON，根据三角形三边关系可知PN≥ON－OP，因为OP为定值，根据垂线段最短，得出当O，P，N三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，则PN最小.如图15，过点O作OH⊥BC于点H，延长HO交圆O于点P′，交AD于点N′，

根据垂径定理和勾股定理求出OH长，最后根据线段间的和差关系求出P′N′长为9－132，即可得出结论.

2.2.3 通过坐标系将双动点问题转化为二次函数问题

例6 如图16，E为正方形ABCD的边AB上一动点，过点E作EF∥BC交AC于点F，G为DE的中点，连接FG，AB＝4，则FG的最小值是.

分析：由题可知，线段FG的两个端点均为动点，我们通过建立常见的平面直角坐标系将FG的长度用含有未知数的二次函数来表示.以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图17，由正方形ABCD的边长为4，得D（0，-4），C（4，－4），则直线AC的解析式为y=－x.设E（x，0），则G12x，－2，F（x，－x），可得FG2=x－12x2+（－x+2）2=54x2－4x+4=54x－852+45，根据二次函数性质可得答案.

3 结语

综上所述，本文提供了常见的解决线段最值问题的方法，让学生有一定的思路可追寻，同时让学生能够看透最值问题背后的本质和基本知识点.由此可知，当遇到最值问题求解的时候，我们可以引导学生观察所求问题属于哪种情况，然后用相应的方法去突破.因此，只有学生做到善于分析题目中的条件，深入研究数学中的转化思想，才能快速地找到问题的本质，进而提高数学的解题能力.