圆锥曲线最值问题探究

摘要：近几年高考中的圆锥曲线最值问题常常以弦长最值、离心率范围，以及与圆锥曲线相关的三角形或四边形的面积或周长最值问题的形式出现.本文中选取椭圆和双曲线的两道试题，进行深入探讨，引导学生掌握此类题型的解题思路，并形成有效的解题策略.

关键词：圆锥曲线；最值；策略探究

1 利用函数性质求最值

圆锥曲线的最值问题是高中数学的一个难点，这类问题往往与动点、动直线等知识点紧密相关.解题的关键在于根据题意，巧妙地引入参数，并灵活运用圆锥曲线的基础知识.在解题过程中，要特别注意利用韦达定理、弦长公式、距离公式等工具，将问题转化为关于某个变量的函数式.

例1 （2024·山东临沂高三检测）已知动圆的圆心在x轴上，且该动圆经过点（－4，0），（x，0），（0，y）.

（1）求点（x，y）的轨迹C的方程；

（2）设过点E（－1，0）的直线l交轨迹C于A，B两点，若A（x0，4），G为轨迹C上位于点A，B之间的一点，点G关于x轴的对称点为点Q，过点B作BM⊥AQ，交AQ于点M，求|AM|·|AQ|的最大值.

解析：（1）根据题意，因为动圆的圆心在x轴上，所以设圆心坐标为（a，0），半径为r.

由题意可得（a+4）2=a2+y2，即y2=8a+16.

由圆心是点（－4，0），（x，0）所连线段的中点，

由中点坐标公式可得a=12（x－4）.代入y2=8a+16可得y2=4x，故点（x，y）的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）根据题意可知，点A（x0，4）在抛物线C上，则42=4x0，所以x0=4，即A（4，4）.

由于过点E（－1，0）的直线l交轨迹C于A，B两点，则直线l的斜率为44－（－1）=45，故l的方程为y=45（x+1）.

联立y2=4x和y=45（x+1），得y2－5y+4=0，

解得y=1或y=4，故有B14，1，则B关于x轴的对称点为B′14，－1.由题意，结合图1知，直线AQ的斜率存在，设为k，直线AB′的斜率为kAB′=43，则kgt;43.

设直线AQ：y－4=k（x－4）kgt;43，Q（xQ，yQ），M（xM，yM）.

因为点Q在抛物线C上，则y－4=k（x－4），y2=4x，可得y2－4ky+16k－16=0，所以yAyQ=16k－16，则yQ=4k－4，xQ=y2Q4=41k－12.

因为BM⊥AQ，所以直线BM的方程为y－1=－1kx－14.

由y－1=－1kx－14，y－4=k（x－4），得xM=4k2－3k+14k2+1.

因为|AM|·|AQ|=AM·AQ=（xM－4，yM－4）·（xQ－4，yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+（yM－4）（yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+k2（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）×（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）4k2－3k+14k2+1－4

×

41k－12－4〗

=24k2+18k－15k2=－151k2+18×1k+240lt;1klt;34，所以当1k=－182×（－15）=35时，即k=53时，|AM|·|AQ|取到最大值，最大值为1475.

2 利用基本不等式求最值

例2 （2024·福建福州高三检测）已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共焦点，且离心率e=62.

（1）求双曲线C的方程；

（2）如图2，过点P（2，1）作两条相互垂直的直线PM，PN，分别交双曲线C于不同于点P的M，N两点，求点P到直线MN距离的最大值.

解析：（1）因为椭圆x24+y2=1的焦点在x轴上，

所以双曲线C的半焦距c=4－1=3.又因为e=ca=3a=62，所以a=2，b=c2－a2=1.

所以双曲线C的方程为x22－y2=1.

（2）当直线MN的斜率不存在时，设M（x0，y0）（y0gt;0），则N（x0，－y0）.此时

PM=（x0－2，y0－1），PN=（x0－2，－y0－1），

则PM·PN=（x0－2，y0－1）·（x0－2，－y0－1）=0，

即（x0－2）2－（y20－1）=0.

整理得x20－4x0－y20+5=0.

由x20－4x0－y20+5=0，x202－y20=1，可解得x0=6，y0=17，或x0=2，y0=1（舍去），所以M（6，17），N（6，－17）.此时点P到直线MN的距离为6－2=4.

当直线MN的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+m.

联立y=kx+m，x22－y2=1，消去y并化简整理，可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.又因为判别式是

Δ=16k2m2－4（2k2－1）（2m2+2）=－16k2+8m2+8gt;0，则m2－2k2+1gt;0.由韦达定理可知x1+x2=－4km2k2－1，x1x2=2m2+22k2－1.

根据已知条件，可得

PM·PN=（x1－2，y1－1）（x2－2，y2－1）=0.

所以（x1－2）（x2－2）+（y1－1）（y2－1）=（x1－2）＼5（x2－2）+（kx1+m－1）（kx2+m－1）=（k2+1）

×x1x2+（km－k－2）（x1+x2）+m2－2m+5

=（k2+1）·2m2+22k2－1+（km－k－2）·－4km2k2－1+m2－2m+5=0.将该式子整理，可得m2+8km+12k2+2m－3=0，

即（m+2k－1）（m+6k+3）=0.由于P直线MN，所以1≠2k+m，所以m+6k+3=0，所以m=－6k－3.

函数y=m2-2k2+1=（－6k－3）2－2k2+1=34k2+36k+10开口向上，又其判别式Δ1=－362－4×34×10=1 296－1 360=－64lt;0，所以m2-2k2+1gt;0恒成立，故直线MN的方程为y=kx－6k－3，即kx－y－6k－3=0.

所以点P到直线MN的距离

d=|2k－1－6k－3|k2+1=4|k+1|k2+1.

所以d42=k2+1+2kk2+1=1+2kk2+1.

当k≤0时，1+2kk2+1≤1；当kgt;0时，1+2kk2+1=1+2k+1k≤1+22k·1k=2，

当且仅当k=1k，即k=1时等号成立.

所以d42≤2，则d4≤2，所以d≤42.

综上所述，点P到直线MN距离的最大值为42.

近年，在新高考背景下，圆锥曲线的最值和范围问题逐渐成为统考压轴题的热点.这类问题全面考查解析几何的重要知识点、数形结合法以及高中数学的其他核心思想方法，综合性强，解题方法灵活多变，能够真实反映学生的数学运算能力和问题解决能力，因此具有很高的区分度.解决这类问题的关键在于识别核心变量，建立不等关系或运用数学建模思想研究最值或函数值域问题.在求解过程中，需要准确分析题目中的变量，选择适当的方法建立不等关系，确定变量范围，并找到相关变量的函数关系式.最后，结合导数或基本不等式等知识，利用变量范围和函数关系式求出函数的值域，从而找到最值.通过这种强化思维的训练，学生可以多动脑、多思考，学会灵活运用所学知识点和数学思想方法来探究和解决问题，不断提升数学抽象、数学运算及逻辑推理等数学核心素养水平.