“同构法”在解析几何一类切线问题中的应用

新课程要求教师在教育教学活动中，立足核心素养的视角，采用多样化的教学方式，调动学生学习的主动性，促进学生的综合发展.新高考，更加注重考查学生的数学核心素养和数学能力，可学生能花在数学科目上的精力较之以前又大大减少，如何在有限的时间里，既巩固基础又提升能力，这对数学复习教学提出了不小的挑战.笔者认为师生都应注意归纳，归纳知识点、题型和方法，进而提高效率.接下来以教学中的一段实例，阐述笔者对于归纳的思考.

假期第一天，班上一个学习很刻苦的学生QQ笔者拍照例1发过来，问：“老师，像这种过定点问题，解决思路是什么？”

例1 已知圆C：x2+y2+2x-4y=0.

（1）过直线x+3y+10=0上动点P作圆C的切线PA，PB，A，B为切点，求证：直线AB经过定点；

（2）过点Q（-1，1）的动直线l与圆C交于M，N两点，圆C在M，N两点处的切线相交于点P，求证：点P在定直线上.

分析：由于圆有很好的几何性质，因此在处理直线与圆的位置关系问题时，通常很少直接用代数方法解决问题，一般用几何方法进行转化，然后再适当计算.这就要求学生有较强的化归能力，能够运用化归思想解决常见问题.笔者回复他说此两题是同一个知识点，即圆的切点弦所在直线方程如何求.至于直线过定点，设参数表示出直线方程，求定点就好；而动点所在的定直线，就是求动点的轨迹.学生说如何求切点弦直线方程他都没想到，而这个知识点是在一轮复习“直线与圆的位置关系”时特别强调的模型，看来学生不善于归纳总结，讲过的知识没有内化，化归能力薄弱.

笔者的具体证明如下：

证法1：（1）设P（-3t-10，t），则A，B在以PC为直径的圆（x+1）+（y-2）（y-t）=0，即x2+y2+（3t+11）x-（t+2）y+（5t+10）=0上.又因为A，B在圆C：x2+y2+2x-4y=0上，所以直线AB的方程为（3t+9）x+（2-t）y+5t+10=0，通过整理可得t（3x-y+5）+（9x+2y+10）=0.由3x-y+5=0，9x+2y+10=0，解得x=-43，y=1.所以直线AB经过定点-43，1.

（2）设P（x0，y0），则M，N在以PC为直径的圆（x+1）（x-x0）+（y-2）（y-y0）=0，即x2+y2+（1-x0）x-（y0+2）y+（-x0+2y0）=0上.又因为M，N在圆C：x2+y2+2x-4y=0上，所以直线MN方程为（-x0-1）x+（2-y0）y-x0+2y0=0.又因为直线MN过点Q（-1，1），所以（-x0-1）＼5（-1）+（2-y0）＼51-x0+2y0=0，即y0=-3.所以点P在定直线y=-3上.

两天以后，这个学生又QQ我，拍照例2发过来，说：“老师，这个题又把我看蒙了，我想知道一些基本模型.”

例2 已知椭圆C：x24+y22=1.

（1）过直线x+2y+6=0上动点P作椭圆C的切线PA，PB，A，B为切点，求证：直线AB经过定点；

（2）过点Q（1，1）的动直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C在M，N两点处的切线相交于点P，求证：点P在定直线上.

分析：椭圆没有圆那么好的几何性质，一轮复习中笔者给学生只介绍过与椭圆的切点弦有关的结论1，用得也很少.

结论1：椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在点A（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

老实说，例2对笔者的学生来说有点难了，在以往的教学中，这类问题也没遇到过，笔者一时并没有很好的解法.但是解析几何的问题，往往可以通过直译来解决，无非是运算可能麻烦一些.笔者的证法一如下：

证法一：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若x1≠x2，则直线AB的方程为y-y1=y1-y2x1-x2（x-x1），即y=y1-y2x1-x2x+x1y2-x2y1x1-x2.又椭圆在点A处的切线方程为x1x4+y1y2=1，在点B处的切线方程为x2x4+y2y2=1，联立得交点P4（y1-y2）x2y1-x1y2，2（x2-x1）x2y1-x1y2.由点P在直线x+2y+6=0上，得2（y1-y2）x2y1-x1y2+2（x2-x1）x2y1-x1y2+3=0，所以x1y2-x2y1x1-x2=23＼5y1-y2x1-x2-23，则直线的AB方程可化为y=y1-y2x1-x2x+23＼5y1-y2x1-x2-23=y1-y2x1-x2x+23-23，所以直线AB过定点-23，-23.若x1=x2，则直线AB的方程为x=x1，P4x1，0，代入直线x+2y+6=0，得x1=-23，此时直线AB方程为x=-23，也过点-23，-23.综上，直线AB过定点-23，-23.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则椭圆在点M处的切线方程为x1x4+y1y2=1，在点N处的切线方程为x2x4+y2y2=1，联立两条切线方程可得到交点P4（y1-y2）x2y1-x1y2，2（x2-x1）x2y1-x1y2.又M.N，Q三点共线，则QM∥QN，所以（x1-1）（y2-1）=（x2-1）（y1-1），即x2y1-x1y2=（x2-x1）+（y1-y2）.所以可得xP=4（y1-y2）（x2-x1）+（y1-y2），yP=2（x2-x1）（x2-x1）+（y1-y2），有xP+2yP=4，即点P在定直线x+2y-4=0上.

分析：问题虽然解决了，但是这样的运算在应试中是不可取的.笔者回忆起之前给学生讲过的解析几何中方程的“同构”思想，得到了例2的如下优化解法.

证法二：（1）设P（x0，y0），则x0+2y0+6=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为x1x4+y1y2=1，所以x1x04+y1y02=1；切线PB的方程为x2x4+y2y2=1，所以x2x04+y2y02=1.所以直线AB的方程为x0x4+y0y2=1.又因为x0=-2y0-6，所以直线AB的方程可化为（-2y0-6）x4+y0y2=1，即y02（x-y）+32x+1=0.由x-y=0，32x+1=0，可知直线AB过定点-23，-23.

（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则切线PM的方程为x1x4+y1y2=1，所以x1x04+y1y02=1；切线PN的方程为x2x4+y2y2=1，所以x2x04+y2y02=1.所以可知直线MN的方程为x0x4+y0y2=1.又直线MN过点Q（1，1），所以x04+y02=1，即P（x0，y0）在定直线x4+y2=1上.

分析：很明显，对于例2，证法二的可操作性要强很多.这时候，笔者又想到例1也可以用此同构方法来解决，于是在下面结论2的基础上，得到了例1的第二种证法.

结论2：圆（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）在点A（x0，y0）处的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）＼5（y-b）=r2.

例1的证法2：（1）设P（x0，y0），则x0+3y0+10=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由圆C：（x+1）2+（y-2）2=5，得切线PA的方程为（x1+1）（x+1）+（y1-2）（y-2）=5，则（x1+1）（x0+1）+（y1-2）＼5（y0-2）=5；切线PB的方程为（x2+1）（x+1）+（y2-2）（y-2）=5，则（x2+1）（x0+1）+（y2-2）＼5（y0-2）=5.所以直线AB方程为（x0+1）（x+1）+（y0-2）（y-2）=5.因为x0=-3y0-10，所以直线AB的方程可以变形整理为y0（-3x+y-5）+（-9x-2y-10）=0.由-3x+y-5=0，-9x-2y-10=0，可得直线AB过定点-43，1.

（2）同（1），直线MN的方程为（x0+1）（x+1）+（y0-2）（y-2）=5，由直线MN过点Q（-1，1），得（x0+1）＼50+（y0-2）＼5（-1）=5，即y0=-3.所以点P（x0，y0）在定直线y=-3上.

分析：比较起来，例1的证法1更适合操作，而证法2的价值是可以作为例1和例2这个题组的通法，而圆向椭圆的迁移也是数学研究中乐意涉及的问题.在整理这个题组时，笔者进一步用同构思想归纳了下述三个结论.

结论3：过圆（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）外一点P（x0，y0）作圆的切线有两条，设切点分别为T1，T2，则切点弦T1T2所在直线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

结论4：过椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）外一点P（x0，y0）作椭圆的切线有两条，设切点分别为T1，T2，则切点弦T1T2所在直线方程为x0xa2+y0yb2=1.

结论5：过抛物线y2=2px（pgt;0）外一点P（x0，y0）作抛物线的切线有两条，设切点分别为T1，T2，则切点弦T1T2所在直线方程为y0y=p（x+x0）.

结合这三个结论，得出例1、例2对应的一般结论，记为定理1、定理2、定理3，如下：

定理1 已知圆：（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）.

（1）过直线Ax+By+C=0上动点P作圆的切线PM，PN，其中M，N分别为切点，则直

线MN经过定点a-Ar2aA+bB+C，b-Br2aA+bB+C；

（2）过点Q（m，n）的动直线l与圆交于M，N两点，圆在M，N两点处的切线相交

于点P，则点P在定直线（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2上.

定理2 已知椭圆：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）.

（1）过直线Ax+By+C=0上动点P作椭圆C的切线PM，PN，其中M，N分别为切点，则直线MN经过定点-Aa2C，-Bb2C；

（2）过点Q（m，n）的动直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C在M，N两点处的切线相交于点P，则点P在定直线mxa2+nyb2=1上.

定理3 已知抛物线：y2=2px（pgt;0）.

（1）过直线Ax+By+C=0上动点P作抛物线的切线PM，PN，其中M，N分别为切点，则直线MN经过定点CA，-pBA；

（2）过点Q（m，n）的动直线l与抛物线交于M，N两点，抛物线在M，N两点处的切线相交于点P，则点P在定直线p（x+m）-ny=0上.

以上这个题组的归纳，笔者把它命名为“解析几何中一类切线问题的研究”.教师在高三复习教学中，需要精心选讲问题，归纳题组呈现给学生，这样学生在每节课都有一个清晰的目标，每次练习都是一次精准的训练强化，这样的教学效果一定会更好.而学生通过教师的示范，也会逐步养成愿意归纳、会归纳的好习惯，这对学生一生的帮助都是巨大的.