投影向量在空间距离问题中的应用

【摘要】“转化与化归思想”是解决立体几何问题的重要思想.空间距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的良好载体．

【关键词】投影向量；转化与化归；高中数学

距离问题是近几年高考的热点，考生对这类问题普遍感觉比较困难，究其原因，是学生未能很好地把握几何体的结构特征，不会应用转化与化归思想.

向量在新教材中占据着重要地位，是用来解决立体几何问题的重要工具．向量的方向可以用来刻画直线和平面的方向，而大小又可以用来刻画长度，因此向量是研究空间距离的有力工具；除两点间的距离，其他距离问题（点到直线的距离、平行直线间的距离、点到平面的距离等）的本质就是“垂直”，而投影向量的产生过程正是通过垂直关系得到的，有了垂直关系，距离问题便可迎刃而解，因此我们可以通过投影向量来研究空间距离问题．法向量是反映垂直方向的最直观的表达形式，这就形成了求距离问题的通法：确定平面的法向量（或直线的方向向量）——选择参考向量——求参考向量到平面的法向量（或直线的方向向量）的投影向量的长度——所求距离．

本文通过实例浅谈投影向量在空间距离问题中的应用．

1定义

2点到直线的距离、平行线间的距离

2.1点到直线的距离

2.2平行线间的距离

3点到平面的距离、直线到平行平面的距离、平行平面间的距离

3.1点到平面的距离

3.2直线到平行平面的距离

3.3平行平面间的距离

4异面直线间的距离

5结语

向量是沟通代数与几何的桥梁，借助空间向量能将几何中一些烦琐的推理论证转化成向量坐标的运算，将几何问题转化为代数问题，大大降低思维难度，从而凸显了向量的工具性作用.本文体现了向量作为工具在解决空间距离问题上的优势，培养“转化与化归思想”，领悟“数”与“形”融合的魅力，养成良好的数形结合思维习惯，有助于提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2020