如何在初中数学教学中巧用化归思想

摘要：文章首先指出了化归思想应遵循的三个原则，即由浅入深、循序渐进，重视过程、注重方法，结合实际、灵活运用；然后通过具体的教学实例分析了化归思想的多种应用.

关键词：化归思想；解题效率；探究精神；教学原则；教学实例

化归思想，作为数学领域中一种重要思维方法，其本质是通过转化和简化问题，将新问题转换为已知问题或者较为熟悉的问题，从而寻找解决问题的突破口.在初中数学教育中，培养学生的化归思想尤为重要，它不仅能够帮助学生建立起数学知识之间的联系，还能够提高学生解决问题的能力和效率.例如，在解决一些复杂的几何问题时，通过化归思想，可以将复杂图形转化为基本图形，将难以直接求解的问题转化为易于求解的问题.在代数问题上，通过变量替换、因式分解等方法，可以将复杂的代数表达式转化为简单的形式，从而简化问题的求解过程.

缺乏化归思想的学生在面对数学问题时往往会感到无从下手.他们可能会陷入对问题表面形式的固定思维中，无法深入本质，从而错失解题的关键.例如，面对一道复杂的几何证明题，如果学生不能意识到通过添加辅助线将复杂图形化简为基本图形，那么他们可能就会陷入原有图形的复杂关系中，无法找到解题的切入点.

1 化归思想的应用原则

化归思想的运用并非无迹可循，它遵循以下三个原则.

1.1 由浅入深，循序渐进

化归思想的应用需要遵循由浅入深、循序渐进的原则.在初中数学教学中，教师应当根据学生的认知水平和已掌握的知识基础，有选择性地引导学生运用化归思想解决问题.初期，可以从简单、直观的问题开始，让学生感受化归思想的魅力和实用性；随着学生能力的提高，逐步增加问题的复杂性，引导学生探索更深层次的化归路径.这一过程中，教师应注重引导学生发现问题之间的内在联系，激发学生的探索兴趣和解决问题的信心.循序渐进地运用化归思想，能够帮助学生逐步建立起完整的知识体系，从而更好地理解和掌握数学知识.

1.2 重视过程，注重方法

化归思想的运用不仅仅是为了得到数学问题的答案，更重要的是通过化归的过程，培养学生的思维方式和解决问题的方法.因此，在运用化归思想时，应当重视解题过程，注重方法的培养.教师在教学中应引导学生不仅要关注结果正确与否，更要关注解题的思路和方法是否合理、是否有创新.通过反思化归的过程，学生可以深入理解数学概念，掌握数学规律，提高解题技巧.同时，教师还应鼓励学生勇于尝试多种化归路径，通过比较不同解题方法的优劣，培养学生的批判性思维和创新能力.如同英国数学家阿尔弗雷德·诺思·怀特海所说：“数学中的真正艺术不在于解答，而在于如何建立问题和找到解决问题的途径.”

1.3 结合实际，灵活运用

化归思想的运用应紧密结合实际，灵活多变.初中数学问题往往涉及生活实际情境，教师在教学中应引导学生学会将化归思想与实际问题相结合，运用到解决生活中的实际问题中.通过将抽象的数学知识与具体的生活实例相结合，不仅可以增强学生学习数学的兴趣，还能帮助学生深刻理解化归思想的实用价值，培养学生将理论知识应用于实践的能力.此外，教师还应鼓励学生在遇到问题时，能够灵活运用化归思想，根据问题的具体情况选择合适的化归路径，以达到解决问题的最佳效果.

2 化归思想的教学应用实例分析

2.1 化未知为已知

在解决数学问题时，将问题中的未知元素转化为已经掌握的知识点或已知条件，称为“化未知为已知”.

的直线与曲线l相交于点M，N，试求△OMN的面积.

分析：反比例函数曲线绕坐标原点旋转45°后的图象无从下手，我们可将反比例函数曲线、直线AB绕坐标原点顺时针方向旋转45°还原，化未知为已知即可求得点M，N的坐标.

建立如图2所示的新的坐标系，令OB所在直线为x′轴，OA所在直线为y′轴.

在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），所以直线AB的解析式为y′=－2x′+8.

2.2 化空间为平面

在处理空间几何问题时，往往会遇到较为复杂的三维结构，此时可以通过投影、剖面等方法，将三维空间问题转化为二维平面问题，称为“化空间为平面”.

例2 如图3所示，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m.队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA=2.88 m.这时水平距离OB=7 m.以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建如图4所示的平面直角坐标系.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式，并判断这次发球能否过网，是否出界，说明理由.

解：将空间问题转化为平面坐标系中的问题.

（1）设抛物线的表达式为y=a（x－7）2+2.88.

当x=9时，y=2.8gt;2.24；当x=18时，y=0.46gt;0，故此次发球过网，但出界了.

（2）如图5所示，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接OP.

在Rt△OPQ中，OQ=17.

因为9－8.4－0.5=0.1，所以发球点O在底线上且距离右边线0.1 m处.

2.3 化特殊为一般

在遇到特殊问题时，尝试将其泛化为一般性的问题，从而找到更普遍、更系统的解决方法，称为“化特殊为一般”.

例3 如图6所示，两个半圆中大半圆的弦CD与小半圆相切，且AB∥CD，其中，CD=6 cm，试求图中阴影部分的面积.

分析：对于该图中阴影部分的面积，联想到化归思想，将阴影面积转换成大半圆与小半圆的面积差来求解.从图6中不难看出两圆半径与弦CD的关系，由垂径定理及勾股定理可知，FC2－EF2=CE2=9.

化归思想作为一种高效的数学思维方法，在初中数学教学中的应用不仅能够帮助学生建立起数学知识之间的联系，提高解题效率，还能够在解题过程中培养学生的逻辑思维能力、创新思维和探究精神.通过实际教学实例的分析，我们可以看到，无论是在几何问题的解决还是代数表达式的简化中，化归思想都能够发挥其独特的优势.因此，教师在教学过程中应重视化归思想的培养，引导学生掌握和运用这一思想.化归思想的妙用在于它能够将复杂的数学问题简化，让学生在简化的过程中发现数学之美.