深度教学视角下初中几何教学的策略思考

摘要：初中的几何教学，历来是一线教师的难点、痛点.基于深度教学理论，在几何教学中开展教学实践，让学生从熟悉的图形出发，经历探究、发现、推理、证明的学习过程，引发学生的深度思考.以“平行线的拐角问题”为例，提出“以问题串挖掘几何学习的充分深度”“以变式训练扩展几何学习的充分广度”“采用多元实践体现几何学习的充分关联度”“以多媒体信息技术拓宽几何深度教学的路径”等初中几何教学的策略，培养学生数学思维，提升几何方面的推理能力等核心素养.

关键词：教学策略；初中几何；深度教学；平行线拐角问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，“如何使核心素养在教学中落地”成为教育研究的热点.深度教学强调教学应越过知识表层符号的教学，进入知识内在的逻辑形式和意义领域，引导学生走向对学科思想和意义的理解并促进学生的深度学习，其目标指向学生学科核心素养的发展[1].因此，实施深度教学是培养学生核心素养的重要途径.

初中几何是在小学学习过的一些基本图形的基础上，进一步研究几何图形的性质与判定方法、图形的变化，以及图形与坐标的关系.相对于代数、概率与统计的教学，初中几何教学的难度，长期以来都为师生所诟病.几何的学习，涉及较多的图形变化、转化，需要在前期的几何教学中，形成一定的观察、想象以及归纳推理、类比推理和演绎推理能力，这样才能在以后的学习中从容应对，有效地发展几何直观、空间观念、推理能力等数学核心素养.因此，在七年级的几何教学中，打下坚实的基础至关重要.本文中以七年级的“平行线的拐角问题”为例，在深度教学理论视角下，探讨初中几何教学的策略.

1 “平行线的拐角问题”的内容分析

“平行线的拐角问题”是人教版数学教材七年级下册第五章第三小节习题中的内容，是在学习了平行线的定义、判定以及性质后，综合运用这些知识去解决“已知平行线求角与角之间的关系”或“已知角之间的关系，推出直线之间的平行关系”的问题.本节课的难点在于添加辅助线，以此实现线的关系和角的关系的互相转化.但在此前，学生从未接触过添加辅助线求解的问题，如何突破此难点，是教学中的一大挑战.

在日常教学中，我们发现，教师在教学中往往直接给出添加辅助线的方法，讲解例题后，沿“一个拐点到多个拐点”这样的教学顺序进行变式.看似由浅入深的教学，符合学生的思维模式，但是一来教师由于课堂的时间限制，讲解不能够透彻，二来学生以为自己学会了，但其实只能死板地记住添加辅助线的位置，或者直接套用结论，至于为什么要添加辅助线，什么时候应该添加辅助线，还是没有解决.如果题目的图形中拐点位置发生了变化，大多数学生都不能够找出变化后的图形与“平行线的拐角”之间的关系.课堂教学中虚假学习和浅表学习现象大量存在，课后“平行线的拐角问题”仍然是学生心目中的一个难点，添加辅助线更是在学生心目中平添了一层神秘感.要解决以上问题，几何的课堂教学就必须向着能够促进学生深度学习的方向转型.

2 深度教学视角下的初中几何教学的策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：几何教学中，“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理[2].深度教学是超越知识表层结构而进入深层结构的教学.通过教师的引导，引发学生的深层思考，注重培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.学生围绕学习目标深度参与，通过探索把新知识转化为已有知识，从而产生新的认知，解决新的问题.笔者在教学实践中摸索出以下教学策略，以达到深度教学的目的.

2.1 以问题串挖掘几何学习的充分深度

教学设计应该以学生“探究未知”作为出发点，然后根据学习主题，提出相应的问题，引发学生思考.只有当学生在思考中遇到困难的时候，教师才进行下一步指导［3］.本节课是学习平行线的性质后的一节练习课，但是学生学习以后往往把这种类型的题目单独列出来，认为这类题与平行线的关系就是从添加一条平行线开始的.所以，笔者首先要解决的问题是：为什么要学习平行线？

为解决这个问题，笔者在让学生完成以下填空题：

例1 如图1所示，直线AB，CD，EF被直线GH所截，且CD∥EF，∠1=70°，∠2=110°.

（1）求证：CD∥AB.

证明：∵CD∥EF（已知），

∴∠+∠=180°（" ）.

又∠2=110°（已知），

∴∠3=70°.

又∠1=70°（已知），

∴∠=∠（等量代换）.

∴EF∥AB（" ）.

∵CD∥EF，

∴CD∥AB（" ）.

（2）如果∠4=117°，∠5=20°，∠6=.

问题1 学习平行线的判定与性质的作用是什么？

说明：学生通过思考体会“平行线实现了线的关系和角的关系的互相转化”.

问题2 以前所学过的角度的计算中，参与运算的角都有公共的顶点，但是图1中∠4=∠5+∠6，而∠4和∠5，∠6并没有公共的顶点，应该怎么处理？

说明：这个问题引导学生发现可以利用平行线对角进行平移，为之后添加辅助线作铺垫.在讲解例题的过程中，如果学生只是记住在哪里添加辅助线，则属于浅表学习.课堂需要解决深层的问题，即什么时候应该添加辅助线，添加辅助线能够解决怎样的问题.于是笔者设计了如下的例题.

例2 如图2，学校C在A同学家的北偏东45°方向，在B同学家的北偏西25°方向，则∠ACB=.

分析：此例引导学生思考下列几个问题.

（1）解决这个问题我们遇到的困难是什么？

（2）如何转化为我们熟悉的问题吗？其手段是什么？

（3）如何添加辅助线？为什么要这样添加？能达到什么目的？

（4）如果把角度的具体数值去掉，那么∠A，∠B与∠ACB有怎样的关系？

在教师引导下逐步从“为什么要添加辅助线”到“在哪里添加辅助线”，再到“添加什么样的辅助线”的过程，一步步把图形拆分成为基础的“三线八角”图形.

说明：问题（1）引导学生发现解题中的困难.比如图2中∠A，∠B这两个角没有共同的顶点；同时，虽然本题可以找到平行的条件，但是也并没有给出“三线八角”的基础图形.由此引发学生思考解决办法.

问题（2）进一步引导学生从已有知识中寻找方法，把已知的知识纳入新的结构中，也就是把复杂的图形拆分成熟悉的“三线八角”的基本图形，解决的是“什么时候添加辅助线”的问题.

问题（3）更具体地让学生思考“怎样添加辅助线”这一问题，此处呼应知识复习时提到的“利用平行线进行角的平移”，借助添加的平行线把需要求的角移动到同一个顶点的位置进行计算.

问题（4）是一个从特殊到一般的过程，去掉具体的角度，形成模型，让学生理解图形中角之间的联系.

深度教学是一种主动的、高投入的、理解记忆的、涉及高阶思维，并且学习结果迁移性强的学习状态和学习过程.教师设计的问题相当于建筑过程中搭建的“脚手架”，给学生布置思考的任务.自适应学习理论中，亦主张根据知识之间的内在逻辑关系，将有解题步骤的例题和问题串连成组，通过“条件建构”和“条件优化”帮助学生获取产生式[4].这样，学生能够对具体的任务进行主动的思考和探究，从浅表知识挖掘到更深一层的知识，实现真正的深度学习.

2.2 以变式训练扩展几何学习的充分广度

深度教学强调教师在一定情境中引导学生进行超越表层的知识符号学习，重在深度开发知识内涵的价值.变式教学能够引发学生的深度思维，提高课堂学习的质量，是实现深度教学的重要手段之一.问题的变式既能够实现对基础知识的巩固，又能够实现知识的迁移，激发学生解决问题的兴趣.教师对知识点进行针对性的变式，也可以让学生自己探索变化的多种可能性，达到深度学习的目的.在“平行线的拐角问题”例题讲解后，笔者没有如以往教学，直接给出变式题目，而是让学生通过实验操作，尝试找出除例题外，平行线间的拐点所在的位置有哪几种情况？经探究发现，可能性如图3所示：

学生通过自己动手操作，找出了一个点在平面移动过程中的其他五种情况，每一个变式图形看上去都和例题的图形不同，在探究时学生会发现按照之前问题的顺序思考，以上图形同样可以找到相应的角度关系，从而这类问题的解决方法得到了巩固和熟练.

在探究结论后学生也会发现，五种变式图形的角度之间的关系并不是相同的，随着点的位置不同，得到的角度关系式也不一样.此时教师还能够进一步引导，加上例题的图形，一共有六种情况.为什么只有六种情况呢？其实是两条平行线被第三条直线所截，三条线把平面分成了六个区域，拐点在每一个区域形成了一个图形，所以一共只有六种情况.这个结论把无限的可能变成有限，再找出有限可能的存在规律，突破了学生思维的障碍，把知识向更深一层拓展.之后，给出以下变式练习：

变式1 如图4，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为.

变式2 如图5，一条公路修到湖边需绕道，第一次拐角∠B=110°，第二次拐角∠C=150°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数为.

说明：变式1让学生从所给图形中发现基础图形，再用前面发现的结论解决问题，变式2改变了角的方向.通过变式题目的练习，培养学生的发散思维、几何直观的和推理能力.变式2相当于两种情况的组合，也为多个拐点的解决打好了基础.学生经过推理变式问题，思维更加灵活，更加自信，主动解决问题的意识增强，与深度教学的理念相吻合.

2.3 采用多元实践体现几何学习的充分关联度

2.3.1 利用实验操作进行实践

实践是检验真理的唯一标准.学生可以通过动手操作完成探究的过程，加深对知识的理解.在本节课中，笔者采用分组模式完成了两个实验过程.第一个实验，让学生通过教具探索平行线间一个拐点的所有可能性；第二个实验，让学生进行组间竞赛，完成以下几个任务：

（1）在适当的位置添加辅助线；

（2）分别画出添加辅助线后得到的两个基础图形；

（3）写出∠E，∠A和∠C的关系；

（4）请一个学生展示本小组的结论并叙述理由.

以上前三个任务学生若能顺利完成，则，说明学生初步熟悉了基本的解题模型，能够把复杂图形分解成为简单的基本图形，清楚不同情况得到的结论也不相同，不同情况下的结论不需要死记硬背.任务（4）讲述理由则是让学生理清分析思路的过程，使学生进一步加深印象.根据学生水平的不同由学生自主选择需要完成的任务，学生可以自主、积极地进行互动交流，最终通过合作顺利完成任务.

2.3.2 做好作业设计，将深度思考延续到课后

为了让学生的思维得到拓展，可以将深度学习的有效性巩固、深化延续到课后.教师应该改变布置作业的习惯，将以前的题海战术精简成为目标指向性突出的精选作业.比如一题多解、深化思维等形式更能够刺激学生思考“精练”模式，或者在课后设计探究性的实践作业.本节课后，笔者让学生思考遇到平行线间有n个拐点的“锯齿图”时应当如何解决？然后以思维导图的形式对本节课的内容进行总结归纳.学生通过制作思维导图重新回顾课堂知识，并对所学图形加以分类、深化，使教学成果得以巩固和延续.

2.4 以多媒体信息技术拓宽几何深度教学的路径

当今时代随着多媒体信息技术的飞速发展，更多的视频、软件和多媒体平台可以运用到教学中，学生之间、师生之间打破了时间和空间的限制.课堂上能够更快地进行反馈和评价，大大提高了深度教学的有效性.本节课是“广州-毕节-瓮安-河源”智慧课堂-数字教材“专递课堂”展示交流活动的一节示范课，笔者通过信息技术同时对广州和贵州两地的学生上课，讲课过程中运用了希沃白板的拖曳、书写、动画等功能，同时，也利用了智慧平台的分组讨论、快速问答、课堂奖励等功能，在学生分小组探究的过程中对每个小组的讨论过程及结果进行展示和评价奖励，大大了提高课堂效率，也激发了学生的探究兴趣和学习热情.

3 结束语

在初中几何教学中开展深度教学，既满足了新课标中对几何推理能力的要求，又提升了学生的核心素养.教师从教学目标出发，以学生作为深度教学的中心，并结合多元性的教育理念组织实施深度教学，这样可以不断提高课堂的效率以及教学的有效性.深度教学不是提高教学的难度或者是增加课堂的容量，而是促进学生思维向深度发展，激发学生主动学习、积极探索的内驱力.多种教学策略相结合，可以达到很好的效果.

参考文献：

[1]金果.地理核心素养培养视角下深度教学策略研究[D].南京：南京师范大学，2021.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]陈莉红，曹经富.2021年中考\"图形的性质\"专题命题分析[J].中国数学教育，2022（Z1）：68-78，96.

[4]李亦菲.自适应学习的理论与实践[J].天津师范大学学报（基础教育版），2004（4）：55-58.