指向运算能力的“理、法、用”三位一体教学策略

摘要：运算能力是义务教育阶段的数学学科核心素养之一，然而研究表明初中生的运算能力较为薄弱，其主要原因是算理模糊、算法选择不合理、实际应用与代数推理能力不足等.因此文章提出“理、法、用”三位一体的教学策略，即借助具象表征，深入算理理解；巧设一题多解，关注算法选择；设置实际练习，加强灵活应用；渗透代数推理，提升逻辑思维.

关键词：运算能力；算理；算法；应用；教学策略

1 引言

运算能力是进行数学学习和探究的基础能力之一[1]，培养运算能力可以有效促进人的思维发展，对学生数学学科核心素养的提升具有重要价值[2].林崇德指出：教师应当抓住初中运算能力快速发展的关键期.

但通过对初中生的相关调查发现，学生的运算能力处于中等水平[3].其主要原因在于：第一，学生对运算意义的把握不到位，对算理模棱两可，且不容易理解抽象的算理；第二，学生不能选择合理的运算策略进行运算，在可以有简便方法的时候，也只会用常规的方法运算，往往导致费时费力还无法正确解答；第三，学生的思维不够灵活，运算推理有待提高.事实上，初中学生已经初步具备逻辑思维能力，但在实际问题的解决过程中，他们通常太依赖自己的感觉，思考不到位，逻辑不严谨，且实际应用能力也有待进一步加强.

提高运算能力作为数学学习的重要目标之一，探究算理和掌握算法是其中的两大任务，且算理与算法作为运算能力的要素，更是发展学生运算能力不可回避的关键部分，而应用可以让学生对算理的理解更透彻，让算法更灵活，让算理和算法得以融合.算理、算法和应用三者之间是相辅相成、内在一体的关系.而对于算理、算法、应用三者学习的先后顺序无需做硬性规定，既可以在应用的基础上理解为什么这样算，也可以先把握算理，再去掌握算法，不强调先后顺序，只强调三者的密切关联性和重要性，即由算理提炼出算法，明确算法后又能对算理更加熟练化，算法也是应用的快捷操作方式，应用又反过来促进算法灵活化并能加强对算理的深入理解.“理、法、用”三位一体图示如图1.

算理、算法、应用三者之间相互联系、相互促进、相互支撑并环环相扣，将三者巧妙地融合到数学教学中，充分发挥三者的作用和价值，进而更好地促进学生运算能力的发展，即指向运算能力的“理、法、用”三位一体的教学.

2 指向运算能力的“理、法、用”三位一体教学策略

基于上述分析，文章充分发挥算理、算法、应用三者的价值，提出指向运算能力的“理、法、用”三位一体教学策略，即借助具象表征，深入算理理解；巧设一题多解，关注算法选择；设置实际练习，加强灵活应用；渗透代数推理，提升逻辑思维.

2.1 借助具象表征，深入算理理解

算理往往比较抽象，学生不容易理解，因此他们通常会对法则进行机械性记忆，学习模仿能力比较强，按照法则的要求套用每步运算，但是并没有掌握其中蕴含的运算依据，自主提出和发现运算背后的逻辑更是少之又少.这也导致学生在运算时屡屡出错，比如在学习“分式”一章中，既有学生在分式通分过程中去分母，也有学生在分式乘除运算时，将分子与分母中多项式的一部分约去.这都反映出很多学生没有理解分式运算的算理，也提醒教师应当重视算理教学，让学生做到运算时心中有“理”，下笔不慌.

学生只有理解算理，才能有效掌握基础知识，进而举一反三.表面上看，引导学生深入算理的理解会占据课堂的一部分时间，但长远来看，学生对于每个知识的来龙去脉更加清晰了，逻辑思维也更强了，自然而然地就记住了法则，不会再出现袁隆平院士小时候因学习“负负得正”时，老师没有说清楚算理，而让他认为数学不讲道理而失去学习数学兴趣的遗憾了.

事实上，学生对算理的理解是由具体到抽象，再到更广泛的具体[4].因此，借助具象表征可以把抽象的法则、定理等通过具体的形式表现出来，把不容易理解的算理变得看得见，进而在一定程度上实现学生对算理的深入理解.

一方面，教学中可以借助具体问题、例子等，让抽象的算理“具象化”.在设计具体问题时可以充分利用学生已有经验，乃至数学运算经验，并以此为重要基础引导学生逐步理解运算意义.对于提出的具体问题，应当有层次性，能够引发学生思考.比如，关于有理数的加法法则和乘法法则的合理性，教学可以从学生的生活经历和经验出发，设计具体问题，并分析问题情境中的事理，提炼其中蕴含的数学道理，进而验证运算法则规定的合理性.另一方面，还可以借助具体图形、图示或直观模型，帮助学生具象化理解运算意义，并在一步步深入探究中进行归纳与整理，促进学生对法则的理解，真正认识数学运算背后的逻辑和道理.

借助具象表征，促进学生理解算理，进而夯实学生的基础知识，其实也进一步为后续算法多样化和应用灵活化奠定了坚实的基础.

2.2 巧设一题多解，关注算法选择

学生面对复杂的运算题时，由于无法在短时间内考虑多种运算方法并选择合理的算法进行解答，这无形中增加了解决问题的难度，降低了效率.而选择合理简洁的运算策略作为运算能力的重要维度之一，理应得到重视.

教师应当尽可能引导学生发掘多样化算法，而不是局限于某一类算法，以更好地发散学生思维，培养他们运算的灵活性.除了发掘多样化的算法，还可以引导学生进一步分析、比较不同算法的区别与联系，加强对算法选择的关注，并适当优化.

基于此，教师在教学中可以根据本节课内容巧妙设计一题多解的题目，适时展示多种运算方法和策略，引导学生在掌握普适性算法的基础上，进一步体会简洁算法在解决问题中的特点.比如，解分式方程时，学生一方面可以通过去分母把分式方程化为整式方程求解，另一方面也可以借助移项、通分求解.第一种方法看起来好像快速、简洁，但会有部分学生遗漏最后的验证步骤，进而导致错误.这反映出这些学生拥有选择简洁方法的能力，但未掌握该法的易错点.这就提醒教师在讲解多样化运算方法时，应当引导学生比较各种运算方法之间的特点，尤其是难点与易错点，防止在运算中掉入陷阱.

此外，教师还要重视对多种算法进行顺序编排，按照学生认知发展的规律慢慢渗透，警惕由于过多或过难地传授方法而造成他们无法接受，甚至出现抗拒学习的后果.例如，在“分式的加减”教学中，教师可以在学生明确了分式加减运算方法、规范了运算步骤后，设计一题多解的题目.既可以是运算顺序的不同，如用不同的顺序计算xx－3－xx+353－xx；也可以是观察式子结构选择不同的运算方法，如求32x+y－y2x－y+x2x－y+1－x2x+y－x－y2x－y+x2x+y，其中2x+y=-2.

诸如此类的设计，让课堂教学变得更加有层次性，适时给学生创设具有挑战性的问题，不断激起学生学习的兴趣，而不必一直囿于简单的法则套用练习中.巧妙设置一题多解习题，引导学生感受多样化的算法，并在算法选择中不断发散思维，这其实又反过来进一步加深了学生对算理的认识和理解，也为后续的应用提供了多种思路与方法，从而更好地促进运算能力的发展.

2.3 设置实际练习，加强灵活应用

学生实际应用数学知识时，往往表现欠佳.这主要是因为学生需要先理解实际情境，再经历将提炼出的数学问题化为运算问题，明确运算对象与法则，合理构造运算程序这一过程，而无论是哪一个环节失误都会导致错误.

针对上述情况，教师应当充分发挥课堂教学在培养学生能力上的重要作用，将数学知识与实际生活中的问题紧密结合或者在得到新知识时设置实际练习，引导学生切实感受数学知识在解决实际问题中的价值，加强对知识的灵活应用.以“分式的加减”为例，在学生掌握算理、明确算法的基础上，设置利用分式的加减法则解决的实际典型问题，包括路程问题和工程问题等.

只有教师在教学时注重引导学生将知识进行实际灵活应用，才能进一步加强学生对运算的深刻认识，让学生明白数学知识不仅仅只是课本上一行行符号和文字，也不单单只是解决几道运算题.它从生活中来，也能应用到生活中去，让学生深刻感受鲜活的数学知识，真正发展运算能力.通过灵活应用，还能够进一步加深学生对算理的认识，也能促使学生感受多种算法在解决问题中的不同特点，促进算理与算法的融合.

2.4 渗透代数推理，提升逻辑思维

学生发展运算思维与逻辑思维的重要时期正是初中阶段，他们的不足表现也是能力发展的必经阶段.基于此，教师可以逐渐丰富数学运算的层次，在日常课堂教学中积极渗透代数推理，引导他们在典型习题中体会运算思维与逻辑推演的拉长过程和跟进感受.

因此，教师除了关注学生运算法则和运算方法的学习与积累，还要强调学生利用法则进行推演，将思维的连贯性、逻辑的严谨性、代数推理能力的发展作为评价学生运算能力的重要指标.比如在“分式的加减”教学中，待学生掌握了分式运算的算理、算法，厘清算理与方法之间的关系，并学会灵活应用后，可以设置一道分式加减的演绎推理问题让学生分析相关材料，寻找规律，并对得到的等式利用习得的分式加减法则进行严格证明.此外，代数推理往往遍布数学课堂的方方面面，教师应当有意识地加强对其的关注.这一方面能够发展学生的推理能力，提升他们的逻辑思维，规范他们的作答步骤；另一方面还有助于他们更好地理解算理、更加灵活地应用，进而有效地发展运算能力.

3 进一步思考

针对给出的教学策略，关于指向运算能力的“理、法、用”三位一体的教学流程可以在学生原有的认知基础上，创设问题情境，引发学生自主思考，进而探究算理，明确运算方法，进行应用与拓展，最后归纳与小结，即由理形法，由法用于实践[5].饭要一次蒸熟，而认识不可能一次完成[6]，所以明确算法又反过来让学生更加熟练把握算理，应用和拓展既可以让算法更加灵活，还能进一步促进深入理解运算背后的道理.指向运算能力的“理、法、用”三位一体的教学流程如图2所示.

参考文献：

［1］杨杰军.核心素养视角下小学生数学运算能力的培养及评价[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2021（2）：115-119，125.

［2］马文杰，姜涛.数学运算能力培养应注意的若干问题研究[J].数学教育学报，2021（6）：8-12.

［3］杭毅，侯正永.基于质量监测的初中学生数学运算发展状况的调查研究[J].数学教育学报，2017（1）：25-27.

［4］马明.运算能力及其培养途径[J].数学通报，1984（6）：6-10.

［5］李婷婷，陈碧芬.“理、法、用”三位一体的数学运算教学——以“分式的加减”（第1课时）为例[J].初中数学教与学，2022（12）：11-14.

［6］张奠宙.可否说得更全面些——谈关于“算理”的教学[J].小学教学（数学版），2010（10）：16-18.