一道教材习题的解法探究与变式拓展

摘" 要：题在书内，用在书外.针对教材内的典型习题，进行多角度探究，做到一题多解，寻求优解.同时开展变式拓展，通过这种方式，提升思维品质，培养思维能力.

关键词：教材习题；一题多解；变式拓展

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0047-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：晏鸿（1975.6—），男，湖南省双峰人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：全国教育科学规划教育部青年课题“基于学科融合的高中数学建模教学实践研究”（项目编号：EHA230482）.

在人教A版高中数学选择性必修第一册138页有这样一道习题：如图1，直线y=x-2与抛物线y2=2x交于A，B两点，求证：OA⊥OB［1］.本人认为可以做如下的解法探究与变式拓展，供大家参考.

图1" 教材习题图

1" 弄清问题，拟定计划

本题的问题核心是确定两直线垂直的充分条件是什么，有如下三个方向可供选择，首先确定探究方向.

方向1：证明kOA·kOB=-1；

方向2：证明OA·OB=0；

方向3：证明以AB为直径的圆过坐标原点O，即|OM|=12|AB|（点M为AB中点）.

2" 开始行动，实现计划

视角1" 从方向1入手，可以先求出A，B两点的坐标，也可以“设而不求”，再计算两直线OA，OB的斜率之积为-1.

解法1" 联立y=x-2，y2=2x，

解得x=3+5，y=1+5或x=3-5，y=1-5.

则两点为A（3-5，1-5），B（3+5，1+5）.

故kOA·kOB=1-53-5·1+53+5=-1.

所以OA⊥OB.

解法2" 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=x-2，y2=2x，

消去y，得

x2-6x+4=0.

因为△=36-16=20gt;0，

所以x1+x2=6，x1x2=4.

则kOA·kOB=y1x1·y2x2

=x1x2-2（x1+x2）+4x1x2

=-1.

故OA⊥OB.

视角2" 从方向2入手，设A，B两点的坐标，利用A，B，C三点共线，计算OA·OB的值，也是常见的通性通法.

解法3" 设A（y212，y1），B（y222，y2），由点C（2，0）在直线y=x-2上，

则CA=（y21-42，y1），CB=（y22-42，y2），且A，B，C三点共线.

于是y21-42·y2=y22-42·y1.

化简，得y1y2=-4.

故OA·OB=y212·y222+y1y2=164-4=0.

因此OA⊥OB.

视角3" 从方向3入手，抓住图形的几何特征，转“形”为“数”，用代数方法解决，重点训练直观想象和数学运算的核心素养.

解法4" 由解法2知x1+x2=6，x1x2=4.

再设A，B中点为M，则有M（3，1），

|OM|=32+12=10，

|AB|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=210.

所以|OM|=12|AB|.

由直角三角形的几何性质可得OA⊥OB.

3" 开发题源，变式拓展

反思上面的解法，发现解法1是通性通法；解法2和解法3基于整体结构进行探究，通过“设而不求”有效降低运算量；解法4体现解析几何与平面几何的关联性，利用直角三角形的性质来解决问题，都是值得学习、消化、吸收的方法.同时，我们还可以对试题进行“二次开发”，开展变式拓展，挖掘它的深层价值.

3.1" 通过化静为动进行变式

变式1" 设过点（2，0）的动直线l与抛物线y2=2x交于A，B两点，O是原点，求证：OA⊥OB.

分析" 将这道题条件中的定直线改为过定点的动直线，然后去探究结论.只要按解法2的思路就能很快解决（证法略）.

3.2" 通过反向思考进行变式

变式2" 设A，B是抛物线y2=2x上非原点的两动点，O是原点，若OA⊥OB，

求证：直线AB必过定点（2，0）.

分析" 反向思考，互换原题的结论与条件，变为动直线过定点问题.通过求原命题的逆命题，进行变式拓展（证法略）.

3.3" 通过推广结论进行变式

变式3" 设A，B是抛物线y2=2px（pgt;0）上非原点的两动点，O是原点.

求证：OA⊥OB的充要条件是直线AB必过定点（2p，0）.

变式4" 设A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的两动点，O是原点.

求证：OA⊥OB的充要条件是点O到直线AB的距离d=aba2+b2.

变式5" 设A，B是双曲线x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）上的两动点，O是原点.

求证：当bgt;agt;0时，OA⊥OB的充要条件是点O到直线AB的距离d=abb2-a2；当a≥bgt;0时，OA⊥OB不存在.

3.4" 再进一步变式

变式6" 设A，B是抛物线C：y2=2px上的两个动点，P（x0，y0）是C上的定点，若PA与PB的斜率之积为定值m（m≠0），求证：直线AB过定点（x0-2pm，-y0）.

证明" 设A（x1，y1），B（x2，y2），则

y21=2px1，y22=2px2.

两式相减，得

（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）.

当AB不与x轴垂直时，x1≠x2，kAB=2py1+y2，直线AB的方程为y-y1=2py1+y2（x-y212p）.

即2px-（y1+y2）y+y1y2=0.①

因为kPA·kPB=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0

=（y1-y0）（y2-y0）［y21/（2p）-y20/（2p）］［y22/（2p）-y20/（2p）］

=4p2（y1+y0）（y2+y0）

=m，②

化简整理，得

4p2m

=y1y2+（y1+y2）y0+y20.

又y20=2px0，

即2px0-4p2m+y1y2+（y1+y2）y0=0.③

①-③，得

2px-（x0-2pm）-（y1+y2）（y+y0）=0.

令x=x0-2pm，y=-y0，

则直线AB过定点（x0-2pm，-y0）.

当AB垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x1，-y1），

由②式知

kPA·kPB=y1-y0x1-x0·-y1-y0x1-x0

=y20-y21（x1-x0）2

=2p（x0-x1）（x1-x0）2

=-2px1-x0

=m.

所以x1=x0-2pm.

即直线AB的方程为 x=x0-2pm，

此时直线AB也过定点（x0-2pm，-y0）.

3.5" 基于一般圆锥曲线的变式

变式7" 过圆锥曲线C上一定点P（x0，y0）引两条直线PE，PF分别交C于E，F两点，若PE与PF的斜率之积为定值m（m≠0），

求证：直线EF过定点（x0-CA-mB，y0+mDA-mB）.

证明" 设过点P的圆锥曲线C方程为

A（x-x0）2+B（y-y0）2+C（x-x0）+D（y-y0）=0（A2+B2≠0）.

令x′=x-x0，y′=y-y0， 则点P的坐标变为（0，0），C的方程为Ax′2+By′2+Cx′+Dy′=0 .④

设直线EF的方程为A1x′+B1y′=1，⑤

由④⑤，得Ax′2+By′2+Cx′·（A1x′+B1y′）+Dy′·（A1x′+B1y′）=0.

即（A+CA1）x′2+（CB1+DA1）x′y′+（B+DB1）y′2=0.

于是（B+DB1）（y′x′）2+（CB1+DA1）（y′x′）+（A+CA1）=0.⑥

设E（x′1，y′1），F（x′2，y′2），则

kPE·kPF=y′1x′1·y′2x′2=m（m≠0）.

由⑥，得kPE·kPF=m=A+CA1B+DB1.

整理，得A1·（-CA-mB）+B1·（mDA-mB）=1.

故直线EF过定点（x0-CA-mB，y0+mDA-mB）.

4" 结束语

一叶而知秋，一题一世界.教材习题就像一个“引子”，往回找，找到题根，往周围找，又能变式出更多的结论，这都是对教材进行纵深研究的好抓手，也是训练思维能力的好手段.

参考文献：

［1］

课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书：数学（选择性必修第一册）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李" 璟］