利用“摩擦角”和“惯性力”巧解力学问题

摘" 要：文章介绍了利用“摩擦角”巧解动态平衡和利用“惯性力”巧解不平衡两类问题，不仅可避开复杂的数学运算，使解题更简洁直观，更能拓宽学生思路，活化知识，让学生理解这些现象的物理本质，从而提高处理问题的效率和解决问题的能力.

关键词：摩擦角；惯性力；巧解

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0121-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：史纪晗（1982.3—），女，山东省枣庄人，本科，中级教师，从事高中物理教学研究.

在物理学习的过程中，除熟练掌握课本基本知识和一些常规的解题方法外，还要掌握一些非常规的解题方法.这些非常规的解题绝技一旦掌握，很多题目会轻而易举得出答案，不仅可以“秒杀”选择题，同时处理物理计算题也得心应手，从而达到快速解决问题的目的.下面就利用“摩擦角”和“惯性力”巧析力学中的两类问题.

1" 利用“摩擦角”巧解动态平衡问题

当物体沿粗糙水平面做直线运动时，由于物体所受支持力和滑动摩擦力方向互相垂直，大小有Ff=μFN的关系［1］，如图1所示.

图1" 全反力、摩擦角受力分析图

我们把支持力和摩擦力的合力FNf称之为全反力，全反力与竖直方向的夹角α角称之为摩擦角.由三角函数可得：tanα=FfFN=μFNFN=μ.

无论物体做匀速直线运动还是变速直线运动，无论物体受到的其他力是变力还是恒力，无论FN是否发生变化，tanα=μ都成立.

例1" （2010年全国理综课标Ⅰ卷·5题）如图2所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动.若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（" ）.

图2" 例1受力图

A.3-1""" B.2-3" C.32-12" D.1-32

解析" 物体在匀速直线运动中受到竖直向上的支持力和水平向左的滑动摩擦力，支持力和摩擦力的合力为全反力FNf，全反力与竖直方向的夹角α为摩擦角，且tanα=μ.根据物体处于平衡状态可得，物体所受合力为零，则各分力首尾相接能够围成闭合的多边形，如图3所示.当物体受拉力F1匀速运动时，G、FNf1、F1三力将围成闭合三角形；当物体受F2拉力匀速运动时，G、FNf2、F2三力将围成闭合三角形.现将F1、F2平移到一个图形中，由F1和F2大小相等和角度关系，根据几何知识可得α=15°，则μ=tan15° .利用数学知识可知正确答案应为B.

图3" 例1解题分析图

练习1" （2009年高考宁夏理综卷·21题）如图4所示，水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0lt;μlt;1）.现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动.设F的方向与水平面夹角为θ，如图，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（" ）.

图4" 练习1木箱受拉力图

A.F先减小后增大" B.F一直增大

C.F的功率减小D.F的功率不变

解析" 根据题意可知，木箱一直做匀速直线运动，木箱受到竖直向上的支持力和水平向左的滑动摩擦力，支持力和摩擦力的合力为全反力FNf，全反力与竖直方向的夹角α为摩擦角，且tanα=μ.因木箱做匀速运动，所以木箱所受的G、FNf、F三力将围成闭合三角形.如图5所示，随着拉力F与水平方向夹角θ从0逐渐增大到90°的过程中，拉力F先减小后增大，当拉力F与FNf垂直时F最小，所以A对，B错.F的功率P=Fcosθ·v，木箱做匀速运动，速度v不变；Fcosθ的大小为拉力F变化过程中在水平方向的投影，由矢量图可知Fcosθ越来越小，所以C正确，D错误.本题正确选项AC.

图5" 练习1解题分析图

点评" 通过以上两个题目的分析，把摩擦角引入教学中，指导学生利用摩擦角结合图示分析求解，不仅可避开复杂的数学运算，使解题更简洁、直观，更能让学生理解这些现象的物理本质，从而提高处理问题的效率.

2" 利用“惯性力”巧解不平衡问题

根据力的平衡条件和力的矢量图可知，若物体处于平衡状态时，物体所受的所有力首尾相接，将围成闭合的多边形.那么，当物体处于不平衡态时，物体所受合力会产生一个加速度，也就是说所有力的合力为F合=ma.那么，如果在原非惯性系中引入一个与F合=ma大小相等、方向相反的力，物体将“合力”为零，物体所受所有力首尾相接将围成闭合的多边形，我们把引入的这个力称为“惯性力”.“惯性力”不是由物体的相互作用引起的，而是在非惯性系中能沿用牛顿定律而引入的“假想力”［2］.

例2" （2001年全国春季高考卷·10题）斜面固定于加速上升的电梯内，加速度为a，一物体始终放置在倾角为θ的斜面上.如图6所示，在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法正确的是（"" ）.

A.当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越小

B.当θ一定时，a越大，斜面对物体的摩擦力越大

C.当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小

D.当a一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小

图6

物体在电梯内运动图

解析" 由于物体始终相对于斜面静止，则物体具有和电梯相同的竖直向上的加速度a，对物体受力分析可知，如图7所示物体受竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面向上的摩擦力，由于物体具有竖直向上的加速度，即三力合力竖直向上，矢量和为ma.现引入“惯性力”大小为ma、方向竖直向下，则物体将在重力、支持力、摩擦力和“惯性力”四力作用下“平衡”.

图7" 例2解题分析图

由三角函数关系可得Ff=（mg+ma）sinθ ， FN=（mg+ma）cosθ ，当θ一定时，a越大则Ff越大，FN越大.A错，B正确；当a一定时，θ越大，sinθ越大，cosθ越小，则Ff越大，FN越小.C正确，D错.故选BC.

练习2" （2013年山东高考卷·10题）如图8所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33，重力加速度g取10 m/s2.求：

（1）物块的加速度.

（2）拉力与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

图8" 练习2物块运动图

解析" （1）由L=v0t+12at2可得a=2（L-v0t）t2=3 m/s2.图9" 练习2受力分析图

（2）如图9所示，物体在粗糙斜面上从A点匀加速向B点运动，物体会受到垂直斜向上的支持力和沿斜面向下的摩擦力，它们的合力“全反力”有确定的大小和方向，且tanα=μ=33，即α=30°.

因物体具有沿斜面向上的加速度，即物体受重力、全反力和拉力三力的合力沿斜面向上，大小为ma.现引入“惯性力”，大小为ma，方向沿斜面向下，则物体将在重力、全反力、拉力和“惯性力”四力作用下“平衡”，求拉力最小值，在矢量图中由重力指向全反力的最短距离即Fmin，如图10所示.

图10" 练习2解题分析图

根据几何关系可知，Fmin=mgsin60°+masin60°=1353 N.

点评" 通过以上两题的分析可知，用非惯性系处理动力学问题，可将动力学问题转化为静力学问题，给解决问题带来极大的方便.非惯性系是一种新的思路，一定程度上可以简化问题，同时用非惯性系处理问题，也可以拓宽学生思路，活化知识，训练学生思维的灵活性，提高解决问题的能力.

3" 结束语

总之，以上两类问题若使用常规方法解决，对数学知识要求较高，数学知识薄弱的同学几乎解不出来，但是利用“摩擦角”和“惯性力”来解决，解题简洁直观，有力提升学生建立物理情景和解决问题的能力，同时也让我们深刻领悟到所蕴含的独特解题思想.

参考文献：［1］

殷勇.巧用摩擦角解决力学问题［J］.物理教学，2012（12）：37-38.

［2］ 舒幼生.惯性力（上）［J］.物理教学，2004（5）：8-9.

［责任编辑：李" 璟］