用摩擦角巧解静力学问题

王元立

摘 要：在高中物理竞赛中常遇到静力学问题，计算量比较大，将常规方法与应用摩擦角和全反力解题进行比较，便体现应用摩擦角解题的优势。 关键词：摩擦角；全反力；物体的平衡 什么是摩擦角？当两物体相互接触，如图1，接触面之间有摩擦时，支持面对物体具有支持力N和摩擦力f的作用，这两个力的合力称为全反力，其作用线与支持面的垂线即支持力的作用线之间形成的偏角为？渍，当达到临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，偏角j也达到了最大值？渍m，如图2所示，全反力与支持力之间夹角的最大值被称为摩擦角，由图可知tan ？渍m== μ，？渍m与μ表明物体之间的摩擦性质。由摩擦角的定义可以知道，全反力的作用线不可能超出摩擦角之外，必在摩擦角之内。因此，一定存在0≤？渍≤？渍m 。 下面通过例题来说明全反力和摩擦角在解决静力学问题中的优势。 例题：如图3所示，质量为m的物体恰好能在倾角为α的固定斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个力使物体沿斜面匀速上滑，为了使力取得最小值，这个力与斜面的倾斜角为多大？这个力的最小值是多少？ 解：物理情境I：由物体恰好能在斜面上匀速下滑，受力分析如图4，列方程mg sin a =μ mg cos α可得μ= tan α。 物理情境II：对物体施加力F，使物体沿斜面匀速上滑，求F的最小值，可有两种方法。 方法一：数学极值法：受力分析如图5所示，设力F与斜面之间的夹角为θ，因为物体是匀速运动，处于平衡状态，物体所受的合外力为0。列平衡方程如下： 沿斜面方向：F cos θ = mg sin α+f

① 垂直于斜面：F sin θ+N = mg cos α

②

f= μN

③ 由①、②、③得： F = mg 要使F取最小值，只要使表達式取最大值，该表达式可以表示为： cos θ+μ sin θ = sin （？渍+θ）

④ 其中取sin ？渍 = ，cos ？渍=

由④式可得，当时sin（？渍+θ）=1时，即？渍+θ= 90°时，F为最小，此时tan ？渍= ， ？渍= arctan，即：当θ= 90°-？渍= arctan μ =α时，F具有最小值，其最小值为：F=mgsin（θ+α）=mgsin2a，F= mg =（sin α sin ？渍+ cos α cos ？渍）mg =2 sin α cos ？渍 mg = mg sin 2α 。 方法二：受力分析如图6所示，物体受重力mg、全反力F反（支持力N与摩擦力f的合力，且摩擦角？渍= arctan = arctan μ= α）和F，相当于物体在三个力的作用下处于平衡状态，F反、F的合力与mg大小相等方向相反，画出平行四边形。从图上可以看出，当F与F反垂直时，F取最小值，θ= 90°-α-（90°-α-？渍）= α。 则F=mg sin（？渍+α）=mg sin 2α，F与重力的夹角为90°- 2α，与斜面的夹角为θ=90°-α-（90°-α）=α。 点评：方法一是根据物体的平衡条件，建立坐标系列方程，对学生来说思路比较顺畅，但是对数学知识的要求很高。方法二引入了全反力与摩擦角，利用三力平衡的知识做矢量三角形求其最值，有很强的技巧性，数学要求低，且容易计算。两种方法比较，显然方法二要简单得多。 总之，在解决静力学问题时，恰当地使用摩擦角和全反力可以起到事半功倍的效果。编辑 杨 倩