一道解析几何题的多解探究和推广

摘" 要：对一道解析几何试题多解探究，分析解法的优劣，总结经验，并对结论进行了推广．

关键词：运算优化；同构；齐次化；极点极线

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0085-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：高洁（1986.10—），男，陕西省富县人，中学高级教师，从事中学数学竞赛研究；

郑宏宝（1973.6—），男，河南省温县人，中学正高级教师，从事中学数学教学研究.

解析几何的试题一般入口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同的解法间运算量的差异很大，有的运算量是“可望而不可即的”，为此，在解题过程中要明确不同方法的差异和联系，每位学生要找到自己最擅长的方法．要达到这样的目的，只有多角度审视，看清问题本质，才能发现最佳的突破口［1］.

1" 试题呈现

题目" （2023年全国乙卷理20）已知曲线C的方程为y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0），离心率为53，曲线C过点A（-2，0）.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点（-2，3）的直线交曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴交于M，N两点，求证：MN中点为定点．

试题评析" 第（1）问是圆锥曲线中较为基础的一个问题，体现了对广大考生的人文关怀，也凸显了试题的基础性；第（2）问考查了直线和圆锥曲线的位置关系及其运算，考查数形结合的思想以及用代数方法解决几何问题的能力．试题的解决也让考生经历猜想和假设、转化和化归、实验和论证等问题研究的过程．试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养提出了一定的要求．

2" 解法探究

2.1" 第（1）问解析

解析" 曲线C的方程为y29+x24=1．

2.2" 第（2）问解析

解法1" （直线串联，设而不求）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直线PQ的方程为y=k（x+2）+3.

即y=kx+2k+3.

联立y29+x24=1，y=kx+2k+3，得

（4k2+9）x2+（16k2+24k）x+16k2+48k=0.

由△gt;0得klt;0，且

x1+x2=-16k2+24k4k2+9，x1x2=16k2+48k4k2+9.

直线AP，AQ的方程分别为

y=y1x1+2（x+2），y=y2x2+2（x+2）.

当x=0时，yM=2y1x1+2，yN=2y2x2+2，

即有yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=y1（x2+2）+y2（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=2kx1x2+（4k+3）（x1+x2）+8k+12x1x2+2（x1+x2）+4

=3.

则MN的中点为定点（0，3）．

解法2" （平移思想，简化运算——解法1优化）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），直线PQ的方程为

y=k（x+2）+3.

联立y29+x24=1，y=k（x+2）+3.得

（4k2+9）（x+2）2+（24k-36）（x+2）+36=0.

由△gt;0得klt;0，且

（x1+2）+（x2+2）=36-24k4k2+9，（x1+2）（x2+2）=364k2+9.

由解法1，得

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=2k+3（x1+2+x2+2）（x1+2）（x2+2）=2k+3×（36-24k）/（4k2+9）36/（4k2+9）=3.

则MN的中点为定点（0，3）．

解法3" （平移齐次化，用好直线代换）同解法1，2有yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2.

直线PQ的方程为y=k（x+2）+3.

即有y-k（x+2）3=1.

将y-k（x+2）3=1代入椭圆化简整理，得

19·（yx+2）2-13·yx+2+k3+14=0.

由韦达定理，有

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=--1/31/9=3.

综上，MN的中点为定点（0，3）．

解法4" （M，N同构，构造斜率二次方程）设直线AP方程为y=k（x+2），

联立y29+x24=1，y=k（x+2），得

（4k2+9）x2+16k2x+16k2-36=0.

当△gt;0时，由xA·xP=16k2-364k2+9及xA=-2得xP=-8k2+184k2+9.

所以P（-8k2+184k2+9，36k4k2+9）.

设直线PQ为 y=m（x+2）+3，

代入点P化简，得

12k2-36k+36m+27=0.

设直线AQ的斜率为k′，同理得

12k′2-36k′+36m+27=0.

k和k′是二次方程12x2-36x+36m+27=0的两个根，所以k+k′=3．

直线AP，AQ的方程分别为

y=k（x+2），y=k′（x+2），

当x=0时，yM=2k，yN=2k′，

即有yM+yN2=k+k′=3.

综上，MN的中点为定点（0，3）．

解法5" （坐标串联，回代曲线）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，yM），N（0，yN），R（-2，3），

有y219+x214=1，y229+x224=1.

即y21=9-9x214，y22=9-9x224.

因为R，P，Q三点共线，有

（y1-3）（x2+2）=（y2-3）（x1+2）.

即y1（x2+2）-y2（x1+2）=3（x2-x1）.

由解法1，得

yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2

=y21（x2+2）2-y22（x1+2）2y1（x2+2）-y2（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=94·（4-x21）（x2+2）2-（4-x22）（x1+2）23（x2-x1）（x1+2）（x2+2）

=34·（2-x1）（x2+2）-（2-x2）（x1+2）x2-x1

=3.

即MN中点为定点（0，3）．

3" 结论推广

结论1" 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），左顶点为A（-a，0），上顶点为B（0，b）.过点R（-a，b）的直线交曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴交于M，N两点，则MN中点为上顶点B．

证明" 设直线AP方程为y=k（x+a），

联立x2a2+y2b2=1，y=k（x+a），得

（b2+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2-a2b2=0.

由xA·xP=a4k2-a2b2b2+a2k2及xA=-a，得

xP=ab2-a3k2b2+a2k2.

所以P（ab2-a3k2b2+a2k2，2ab2kb2+a2k2）.

设直线PQ为y=m（x+a）+b，

代入点P化简，得

a2bk2-2ab2k+2ab2m+b3=0.

设直线AQ的斜率为k′，同理得

a2bk′2-2ab2k′+2ab2m+b3=0.

k和k′是二次方程a2bx2-2ab2x+2ab2m+b3=0的两个根，

所以k+k′=2ab2a2b=2ba．

直线AP，AQ的方程分别为

y=k（x+a），y=k′（x+a）.

当x=0时，yM=ka，yN=k′a，即有

yM+yN2=（k+k′）a2=2ba·a2=b.

综上，MN的中点为上顶点B．

结论2" 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），左顶点为A（-a，0），上顶点为B（0，b）.过点R（-a，b）的直线交曲线C于P，Q两点，直线BP，BQ与x轴交于E，F两点，则EF中点为左顶点A．

结论3" 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），左顶点为A（-a，0）.点R是直线x=-a上任意一点，过点R作椭圆的两条切线，分别交椭圆于点A和B .过点R作直线交曲线C于P，Q两点，直线AB、直线AP、直线AQ的斜率分别为k，k1，k2，则k1+k2=2k．

结论2和结论3的证明方法同结论1，略．

4" 结束语

这个题的背景是极点、极线和调和点列，点（-2，3）的极线为椭圆的左顶点A与上顶点B连线，AN，AM，AD，AB成调和线束，由上面的结论3和极点、极线的性质可以得到MN的中点为（0，3）．很多学生热衷于用极点、极线等射影几何的性质秒杀试题，却忽略了基本解法和常规的思路.当然，适当地拓宽知识面，利用极点、极线的相关知识猜定点、定值未尝不可，但如果不重视基本方法、基本策略，总想着用几何方法来解决解析几何题目，这和高考命题的意图是违背的．教师在解析几何教学中，应该鼓励学生多角度审视问题，把教学重点放在培养学生逻辑推理、数学运算的素养上，提高复习备考效率．

参考文献：

［1］

王馥.问渠那得清如许，为有源头活水来：对2023年高考数学全国乙卷的探究［J］.中学数学教学参考，2023（34）：37-39.

［责任编辑：李" 璟］