对2022年新高考Ⅰ卷第12题的思考

摘" 要：以2022年新高考Ⅰ卷多选第12题为例，从函数周期性、对称性、奇偶性到函数图象的变换，对不同解法进行探究，并对函数性质之间的联系和函数图象的变换进行拓展.

关键词：函数周期性；对称性；奇偶性；图象变换

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0057-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：杨明（1985.1—），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：中山市教育科研2023年度青年项目课题“新教材背景下薄弱学校高中学生数学运算素养培养的实践研究”（项目编号：C2023145）.

函数是数学中的基本概念，也是高中数学的重要内容之一.在高考中，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

等知识点都是必考内容.函数性质是高考数学中涉及计算问题最多的知识点之一.

1" 函数奇偶性和对称性的结论与证明

结论" f（a+x）=f（a-x）f（x）关于x=a对称f（a+x）为偶函数（假设agt;0）.

证明" 充分性.因为f（a+x）=f（a-x），令t=a+x，

所以f（t）=f（2a-t）.

即f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）关于x=a对称.

必要性.因为f（x）关于x=a对称，所以f（2a-x）=f（x）.令x=t+a，得f（a+t）=f（a-t）.

所以f（a+x）=f（a-x）.

如下是利用函数图象的平移变换证明“f（x）关于x=a对称f（a+x）为偶函数”.

充分性.因为f（x）关于x=a对称，f（x）的图象左移a个单位得到f（a+x）的图象，对称轴由x=a平移到x=0即y轴，所以f（a+x）为偶函数.

必要性.因为f（a+x）为偶函数，所以f（a+x）的对称轴为y轴，f（a+x）的图象右移a个单位得到f（x）的图象，对称轴由x=0平移到x=a，所以f（x）关于x=a对称［1］.

拓展结论" f（a+bx）=f（a-bx）f（x）关于

x=a对称f（a+bx）为偶函数（假设agt;0，bgt;0）.

证明" 充分性.令t=a+bx，则x=t-ab.

所以f（t）=f［a-b（t-ab）］=f（2a-t）.

所以 f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）关于x=a对称.

必要性.由结论f（x）关于x=a对称得f（a+x）=f（a-x）.令x=bt，得f（a+bt）=f（a-bt）.

即f（a+bx）=f（a-bx）.

利用函数图象的伸缩平移变换证明“f（x）关于x=a对称f（a+bx）为偶函数”.

充分性.f（x）的图象向左平移a个单位得到f（a+x）的图象，f（x）对称轴为x=a，所以f（a+x）图象的对称轴为x=0，即y轴.

f（a+x）图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的1b得到f（a+bx）的图象，对称轴x=0也缩小为原来的1b，仍然是y轴.

所以f（a+bx）的图象关于y轴对称，即f（a+bx）为偶函数.

必要性.因为f（a+bx）为偶函数，所以x=0为f（a+bx）的对称轴.

f（a+bx）的图象向右平移ab个单位得到f［a+b（x-ab）］=f（bx）的图象，对称轴由x=0平移到x=ab，f（bx）的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的b倍得到的f（x）图象，对称轴由x=ab变为x=ab·b=a.

或者f（a+bx）的图象纵坐标不变横坐标先伸长为原来的b倍得到f（a+x）的图象，相应的对称轴x=0伸长b倍仍然是x=0，f（a+x）的图象向右平移a个单位得到f（x）图象，对称轴由x=0平移到x=a，所以f（x）关于x=a对称［2］.

以上结论得证，对于alt;0，blt;0同理可证明结论成立.

2" 真题呈现与解法探究

例1" （2022年新高考Ⅰ卷第12题）已知函数f（x）及其导函数f ′（x）的定义域均为R，记g（x）=f ′（x）．若f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，则（" ）.

A.f（0）=0""" B.g（-12）=0

C.f（-1）＝f（4）D.g（-1）＝g（2）

解法1" 根据条件f（32-2x）为偶函数，得出f（x）的对称轴为x=32.

因为f（-1）=f2×32-（-1）=f（4），故选项C正确.

而g（2+x）为偶函数，所以g（x）的对称轴为x=2.

因为g（-1）=g2×2-（-1）=g（5），故选项D错误 .

因为x=32为f（x）的一个极值点，所以f ′（32）=

g（32）=0.

因为x=2为g（x）的一条对称轴，

所以g（52）=g（32）=0.

所以f ′（52）=g（52）=0.

因为x=32为f（x）的一条对称轴，

所以f ′（52）=f ′（12）=0，

g（12）=g（72）=0，

f ′（72）=f ′（-12）=0.

所以f ′（-12）=g（-12）=0，故选项B正确.

由题目条件不能得出A选项正确，故BC正确.

解法2" 因为f（32-2x）为偶函数，不妨设

f（32-2x）=cos（ωx）+1，ωgt;0，

令32-2x=t，则x=34-12t.

则

f（t）=cos（34ω-ω2t）+1.

所以f（x）=cos（34ω-ω2x）+1，

f ′（x）=g（x）=ω2sin（34ω-ω2x），

g（x+2）=-ω2sin（ω4+ω2x）.

因为g（2+x）为偶函数，所以ω4=π2+kπ，k∈Z，不妨设k=0，ω=2π，代入f（x）中得

f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx），f（32-2x）=cos（2πx）+1，

g（x+2）=-πcos［π（x+2）］=

-πcos（πx）均为偶函数.

所以f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx）符合题意.

因为f（0）=1≠0，所以选项A错误.

因为g（-12）=0，所以选项B正确.

因为f（-1）=1，f（4）=1，所以选项C正确.

因为g（-1）=π，g（2）=-π，所以选项D错误.

解法3" 因为g（x）为f（x）的导函数，g（2+x），f（32-2x）为偶函数，可设g（2+x）=cos（ωx）（ω≠0），换元得g（x）=cos（wx-2ω），f（x）=1ωsin（ωx-2ω）+1.

所以f（32-2x）=-1ωsin（12ω+2ωx）+1为偶函数.

所以12ω=π2+kπ（k∈Z）.

不妨设k=0，解得ω=π.

所以f（x）=1πsin（πx）+1，g（x）=cos（πx），符合题意.

两个函数分别代入四个选项得出正确的答案.

3" 结论在解题中的应用

变式1" （2021年新高考Ⅱ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（" ）.

A.f（-12）=0""" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析" 因为f（x+2）为偶函数，所以f（x）关于x=2对称.所以f（1）=f（3）=0.

又因为f（x）的定义域为R，f（2x+1）为奇函数，

所以f（x）关于（1，0）对称，f（1）=0且周期为4.

所以f（-1）=f（-1+4）=f（3）=0.故选B.

变式2" （2023年宣城模拟）已知函数f（x）及其导函数f ′（x）的定义域均为R，记g（x）=f ′（x）．若f（x+3）为奇函数，g（32+2x）为偶函数，且

g（0）=-3，g（1）=2，则∑2 023i=1g（i）=.

解析" 因为f（x+3）为奇函数，所以f（-x+3）=-f（x+3）.

所以f ′（-x+3）=f ′（x+3）.

又因为g（x）=f ′（x），所以g（-x+3）=g（x+3）.

所以g（x）的对称轴为x=3.①

又因为g（32+2x）为偶函数，

所以g（32-2x）=g（32+2x）.

所以将式中2x换成x，得g（32-x）=g（32+x）.

所以g（x）的对称轴为x=32.②

由①②得g（x）的一个周期为T=2（3-32）=3.

所以g（3）=g（0）=-3．

又因为g（x）的对称轴为x=32，

所以g（1）=g（3-1）=g（2）=2.

所以g（1）+g（2）+g（3）=2+2-3=1.

又因为2 023=3×674+1，

所以Σ2 023i=1g（i）=676.

4" 结束语

研究函数性质涉及计算的问题对高考具有重要的意义，可以为学生的高考做好充分的准备，同时也可以提高学生的数学素养和应用意识.因此在日常教学中，教师既要引导学生注重对定义的理解和掌握，掌握通性通法；也要注重引导学生对同类题型解题技巧的积累和规律的总结，可以一题多解、多题一解，避免思维定式，这样学生才能在考试时胸有成竹，应对如流！

参考文献：

［1］

陈泳.八省联考单选压轴第七题的背景探究及应用［J］.理科考试研究，2021，28（23）：22-25.

［2］ 闫伟.一道清华大学自招试题的解法探究及拓展［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2020（01）：37-39，25.

［责任编辑：李" 璟］