利用仿射变换解决几何图象问题

摘" 要：研究几何问题的关键在于对图象的处理，我们通常需要进行例如平移、放缩、旋转、翻转等一系列操作，而这些操作就是对图象的仿射变换，它主要的目的在于将一些复杂问题特殊化、简单化，能够让读者对题意有更深刻、更全面的理解.

关键词：仿射变换；仿射对应；几何图形

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0060-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：王龙友（1977.11—），男，安徽省东至人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

几何中，我们在研究图形的点线结合关系、平行性、单比、面积比等问题时，若站在仿射变换的角度来思考，利用仿射变换的“关系性、映射性、反演性”对问题加以处理，即通过对特殊图形的证明经仿射变换得出一般图形的结论，能够大大地降低解题的难度.所以，研究仿射变换在几何中的应用，可以帮助读者开阔视野、扩大几何领域的知识面，极大地激发读者学习几何的兴趣.

1" 基础知识

1.1" 仿射变换定义

（1）f：p（x，y）→p′（x′，y′）是由x′=a11x+a12y+a13，y′=a21x+a22y+a23确定的平面xOy上的一个线性变换；

（2）Δ=a11a21 a12a22≠0，

则称f是平面上的一个仿射变换［1］.

1.2" 仿射变换

仿射变换也叫仿射映射，它是指在几何中，对一个向量空间进行线性变换并接上一个平移，从而变换成另一个向量空间的变换.

1.3" 仿射变换的性质

f保持同素性：点A→点A′，直线a→直线a′；

f保持结合性：若A∈a，f：A→A′，a→a′，则A′∈a′.

推论" （1）f保持共线三点单比不变：f：p1→p1′，

p2→p2′，p3→p3′，

则（p1， p2，p3）=（p1′，p2′，p3′） ；

（2）f保持平行性：若a∥b，f：a→a′， b→b′，则a′∥b′；

（3）f保持两个图形的面积比不变：一组三个不共线的点P1，P2，P3和另一组三个不共线的点Q1，Q2，Q3且f：P1→P1′，P2→P2′，P3→P3′， f：Q1→Q1′

，Q2→Q2′，Q3→Q3′，则有 S△P1P2P3S△Q1Q2Q3=S△P1′P2′P3′S△Q1′Q2′Q3′.

（4）伸缩变换：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在伸缩变换φ：x′=λx，λgt;0，y′=μy，μgt;0下，可以变成另一个椭圆或者圆，且变换后的面积S′与变换前的面积S满足：S′=λμS.

1.4" 仿射变换在几何问题中常见的几个重要结论

（1）一般三角形可以经仿射变换成正三角形或等腰三角形；

（2）一般四边形可以经仿射变换成平行四边形或正方形；

（3）一般梯形可以经仿射变换成等腰梯形；

（4）椭圆可以经仿射变换成圆.

2" 应用举例

例1" 证明三角形的三条中线交于一点.

图1" 任意三角形仿射变换成等腰三角形

证明" 如图1，将△ABC仿射变换成正△A′B′C′（或等腰 △A′B′C′），中线AD，BE，CF分别相应变换成A′D′，B′E′，C′F′.

由正三角形的对称性知B′E′，C′F′的交点O′必在A′D′上.

由点线结合性可知AD，BE，CF相交于一点O.

例2" 证明梅涅劳斯定理.

梅涅劳斯定理" 任何一条直线截三角形的各边或延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积［2］.

图2" 三条线段不共线仿射变换成三条线段共线

分析" 本题要求证明：如图2，当L，M，N三点共线时，BLLC·CMMA·ANNB=1成立.

证明

由于结论中的三条线段不在同一条直线上，证明起来比较困难，这时我们利用仿射变换分别将A，M，N平行投影到直线BC上，分别对应：A→K，M→L′，N→L′，则将原来不共线的三点对应成共线的点，则有BLLC·CMMA·ANNB=BL′L′C·CL′KL′·KL′L′B=1.

逆命题" 当有向线段BC，CA，AB上三点L′，M，N满足BL′L′C·CMMA·ANNB=1时，L′，M，N三点共线.

证明" 设直线MN交BC于点L′时，

在△MCL′中由正弦定理知

CL′sin∠M=CMsin∠ML′C.

所以sin∠ML′Csin∠M=CMCL′.

在△AMN中由正弦定理知 MAsin∠MNB=ANsin∠M.所以sin∠Msin∠MNB=ANMA.

在△BL′N中由正弦定理知BNsin∠BL′N=BL′sin∠BNL′.所以sin∠BNL′sin∠BL′N=BL′BN.

则BL′NB·CML′C·ANMA=sin∠BNL′sin∠BL′N·sin∠BL′Nsin∠M·sin∠Msin∠MNB

=sin∠BNL′sin∠MNB=1.

所以点L′与点D重合，也即L′，M，N三点共线.

例3" 椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的内接△ABC，过点A，B，C分别作椭圆切线，分别相交于E，F，G三点，构成椭圆的外切△EFG，若BC∥EG，AC∥EF，求证：AB∥FG.

图3" 三角形内切椭圆仿射变换成三角形内切圆

证明" 如图3，作仿射转换，

x′=xa，y′=yb，1a00 1bxy=x′y′.

所以椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）经仿射变换后得到圆x2+y2=1，相对应的点变换成：A→A′，B→B′，C→C′，E→E′，G→G′，F→F′.

因为B′C′∥E′G′，A′C′∥E′F′，

所以∠B′A′C′=∠E′B′A′，∠A′E′B′=∠C′B′F′.

所以∠G′E′F′=∠A′C′B′.

所以F′G′∥A′B′.

由仿射变换保持平行性可知FG∥AB.

例4" 在四边形ABCD中，点E在AB上，点F在DC上，连接AF，DE交于点L，连接AC，BD交于点N，连接BF，CE交于点M，证明：L，M，N三点共线.

图4" 任意四边形经仿射变换为平行四边形

证明" 如图4，将四边形ABCD经仿射变换成平行四边形，A→A′，B→B′，C→C′，D→D′，E→E′，F→F′，L→L′，M→M′，N→N′，则在A′B′C′D′中很显然L′，M′，N′三点共线.

由仿射变换的性质知L，M，N三点共线.

例5" 求椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的面积.

解析" 建立仿射变换：椭圆仿射成圆，由仿射变换性质“两个图形的面积比保持不变”得出结论：

图5" 椭圆经仿射变换为圆

如图5，进行仿射变换：

A（-a，0）→A′（-1，0），B（0，b）→B′（0，1），C（a，0）→C′（1，0）.

所以S△A′B′C′=12×2×1=1.

所以S△ABCS△A′B′C′=S椭圆S圆.

所以ab1=S椭圆π×12.

所以S椭圆=abπ.

3" 结束语

从以上的一些典型例题中不难看出，通过对特殊几何图形的证明得到一般几何图形的证明，可以大大地降低解题的难度，而这一过程的转换只需要通过“仿射变换”就可以实现.事实上，仿射变换的好处还远不止于此，甚至还可以自己动手编制和构建新的几何题型.

当然，仿射变换在几何中不是万能的，不能面面俱到，它一般运用于几何中属于仿射几何的那部分内容，对于一旦牵涉到长度、角度等几何内容时，我们的仿射变换就失去了效果，因此读者们在研究时要注意.

参考文献：

［1］ 朱得祥.初等几何［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 陈启旭，林达坚.高等几何［M］.北京：高等教育出版社， 1983.

［责任编辑：李" 璟］