都是“无形”惹的祸

何建文

[摘 要] 图形的存在对学生解决问题大有帮助，但也往往限制了学生的思维，一道“无形”习题的大面积错误反映了存在的问题和不足，暴露了平常教学的缺陷，对话解题过程，层层分析，发现背后是学生各种能力的缺失和数学思想方法的缺乏，反思以改进教学，慎画几何图形，以培养学生严谨科学的态度.

[关键词] 几何图形；习惯思维；科学态度；数学思想

错误反映了存在的问题和不足，分析错误，反思，有利于改进教学. 一道平行四边形习题大面积的错误，两个班级都只有少数学生做出完整、正确的解答，如此高的出错率让原本平常的习题显得非比寻常，不仅是班级里一些优秀生出现错误，甚至个别老师也在不经意间出现错误. 课后对话学生，再现解题过程，了解答题情况，才发现学生是在不经意间自然发生了错误，根本就没有察觉；在没有对话的班级重新解答还是出现同样的错误. 为什么会有这样的错误？都是“无形”惹的祸，为此，引起了笔者的思考.

试题呈现 （2013·杭州拱墅区一模）在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线，垂足为点E，过点A作直线CD的垂线，垂足为点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为______.

参考解答 因为题目没有给出可用的图形，只有具体数据，所以先画图.

情形1：如图1所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，交BC边于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F. 由平行四边形的面积为12，AB=4，BC=6，得AE=2，AF=3. 在Rt△ABE中，

学生的典型错误

因为缺乏直观性，因此基础差的学生无从下手，能解答的学生则先画图.

典型错误1 如图3所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DC于点F，由平行四边形ABCD的面积为12和AB=4，BC=6，得

典型错误2 画图，作平行四边形ABCD，如图4所示，过点A作AE⊥BC，

与学生对话，还原解题过程

师：题目中的条件都理解了吗？你能整合吗？有没有需要特别留意的细节？

生1：基本上都理解了，就是平行四边形，已知面积和两边长，求两条线段的和，好像没有需要特别留意的地方.

师：通过审题，理解题意，获得信息后，你想到了哪些与平行四边形有关的知识？

生2：想到了平行四边形的性质，两组对边分别相等，两组对边分别平行，平行四边形的面积计算公式，面积等于底乘高.

师：还想到了哪些知识和方法？

生3：勾股定理，平行四边形高线的画法，类似三角形高线画法.

师：你是否想到与解题有关的数学思想方法？

生4：我根本没想到什么数学思想方法，看完题目我就无从下手.

生5：我想到了数形结合思想，要解本题，首先应该画图.

师：是否联想到钝角三角形中高线的画法？

生5：没有，只是感觉平行四边形的高与一般锐角三角形的高线相似，根本就没联想到钝角三角形高线的画法.

師：是否考虑过题目中的数值对具体图形形状的影响？也就是说，图形可能因数值而具有一些特殊的性质，如角的度数等.

生6：没有想到. 一直以来题目中的数值，只是用来参与计算的，只会对最终的结果有影响，从来没有碰到会对题目所涉及的图形有影响，进而影响题目的答案.

师：对具体数值的大小，你都有具体、直观的印象和感受吗？能感知、把握它的相对大小吗？

生7：老师，这与解答本题有关系吗？数值就是个值，还要感知、把握相对大小？

（对于这个问题，学生一脸茫然，基本都不理解，认为这与解答本题根本就没有关系）

师：平常在辅助解题的画图中是否都有固定的倾向和习惯？如标顶点字母的顺序都是固定不变的，角的位置、度数的大小等都是通常的方向、一般正常的大小，很少做其他的尝试，也不会根据具体的题目考虑具体的图形？

生8：平时作图习惯一般都是固定的，标字母都基本是同一个方向，如顺时针，很少会有变化；角度一般也都是“中规中矩”，不会过大也不会过小，角的位置一般都是平的，不会有倾斜，除非题目中有明显的要求和提示.

生9：我平常解题画图中，标字母一般都是从图形的左下角开始，按逆时针的方向，这次正好歪打正着，∠A标在锐角的位置（如图4），因此得到一个正确答案，对了一半.

师：解题进程中是否随着解题的进度而随时调整解题的思路和方向，并随着解题进程边反思边调整，而不是一成不变？

生10：解题平常都是开始解答前思考，想出来之后，就开始解答，而不会边解答边反思、调整思路，基本上都是不会变的.

师：通过以上对话，你觉得自己的解答错误在哪里？

生11：审题没有注意细节，图形可能还有其他的情形，再说解答的那种情形，图形中垂足的位置也不对，应该在平行四边形的外面，我根本就没注意3与4的大小关系.

学生似乎慢慢认识到了自己的错误.

错误原因分析

这是一题难度并不是很大的习题，主要考查平行四边形的性质、平行四边形面积计算方法、勾股定理、作图能力、数形结合思想、分类讨论思想等知识方法，所涉及的计算量并不复杂，对作图能力的考查也不是很难，为什么会有如此高的错误率？是“无心”？是知识掌握有缺陷？还是平常的教学存在问题所致？下面从教与学的角度进行分析.

1. 审题不细，理解不透

学生出现的错误首先是非知识性的，审题不清，没有注意细节，题目中“过点A作直线BC的垂线，垂足为点E，过点A作直线CD的垂线，垂足为点F”，很多学生都没注意“直线”这个细节，于是出现在作图中只有平行四边形的边，而边只是线段，这就决定了垂足的位置“理所当然”在线段上，这种情况也是平常在教学和练习中出现最多的情形. 而本题，至少有一个垂足在线段的延长线上，即“直线”上，因为第一步没有审清，学生开始滑向错误的“深渊”. 如果学生能注意“直线”这一细节，明确过点A作直线CD的垂线，就是过点A作对边CD所在直线的垂线，那么垂足就有可能不在线段CD上，而在线段CD的延长线（或反向延长线）上，从而能避免出现错误.

2. 受习惯思维的影响

已有的知识经验都会影响人们对事物的思维方式，习惯是一种因循式的思维形式. 与四边形知识紧密联系的是三角形的有关知识，对题中凸显的过平行四边形的顶点A作直线BC的垂线，学生受已有一般锐角三角形高线画法的习惯思维影响（如图5），而画出如图3所示的图形，使得垂足点F在线段CD上，而对于需要突破习惯思维的钝角三角形BC边上高线的画法（如图6），则根本联想不到，从而自然得出CF=CD-DF，导致错误，此其一. 其二，很多学生包括一些教师在辅助解题画图时，标识字母的顺序受习惯思维的影响，都基本一成不变，如四边形或平行四边形都基本从图形的左上角开始，按逆时针方向来标识（如图7），很少有变动，如果能稍作改变或作多种尝试，如在本题中，把字母A标识在左下角，就能作出如图4所示的图形，也不会出现错误，就像那个唯一碰巧做对的学生那样，也能得到一个正确答案. 另外，如果能不受习惯思维的影响，作图时把角度做多种尝试，锐角、钝角都试试，图形横画、竖画或稍微倾斜，也不会出现这样的错误. 正是受习惯思维的影响，促成了这样的错误.

3. 数学思想方法的缺乏

数学思想方法是数学的本质，是解决问题的核心. 一部分基础弱的学生拿到问题就无从入手，这是缺乏几何直观性的表现，同时也暴露出数形结合思想的缺乏. 如果头脑里有数形结合思想，就自然会画图，开始问题的解决. 另外，画出一种情形的图形后，如果有分类讨论的思想，就会尝试去画不同形状的平行四边形，比如那位碰巧答对一半的学生，如果能按∠A是锐角、∠A是钝角进行分类讨论，或许能解答正确，不会遗漏另一种情况，出现失误.

4. 数感及调控能力的缺失

数感是人对于数及其运算的一般理解和感受，将实际问题与数联系起来，形成数物对应的思想，数感就是主动地、自觉地感知数、理解数的意识. 在学生的解题过程中，当画出如图3所示的图形时，没有意识到AE=2，AB=4，直角边恰好是斜边的一半，因此Rt△ABE中AE边所对的角∠B应是30°，而图3中，∠B则远远大于30°，这正是缺少数感的体现. 解题继续进行，当求得CF=CD-DF=4-3时，如果学生具有良好的數感，能感知、把握数的相对大小，DF=3已经大于边CD的长，求得的CF=4-3已经是个负数，也不会出现这样的错误. 另外，由于学生解题调控能力的缺失，而没有及时发现问题，当学生求得DF=3，没有发现DF大于CD，就不会想到“过点A作直线CD的垂线，垂足为点F”，点F的位置已经不在线段CD上，而应在DC的延长线上，才在所画错误的垂线基础上继续解答，最终导致错误.

教学思考与建议

纵观整个解题过程，这样的错误并非朝夕形成，很多单元测试和一些重要的考试，学生感觉良好，但结果往往出乎意料，很多都是源于这样“无形”的错误. 如何避免这样的错误？教学需要从点滴做起.

1. 加强审题训练. 在理解题意基础上捕捉问题细节，进行信息的提取和整合，把握关键字、词所蕴含的信息，如“直线”包含“线段所在直线”的含义，同时把一些抽象的、看不见的、隐含的条件转化为具体的、形象的、直观条件，如有必要，可以借助图表、模型等直观表示出来，以全面理解问题.

2. 注重培养思维灵活性. 在问题的解决过程中，不从固定的角度、方位去思考，使自己的思维形成习惯，落入俗套. 对于形象的画图，要经常尝试从正面、侧面、顺时针、逆时针、上下、左右等相反方向进行探讨，对不确定的角，特殊的等腰、直角三角形要从各种类型进行考虑，是否具有多种可能性，让学生放开眼界，认识全面，这样就会突破习惯思维.

3. 加强思想方法渗透. 数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学的精髓，它是策略性的知识，对解决问题起着关键的指导作用. 应用数形结合思想不仅使问题变得更加简单自然，还能培养学生严谨的思维，更加直观地理解问题. 而应用分类讨论思想，则能够让学生考虑问题更加全面，思维更广、更深刻，从而使问题解决更有实效.

在几何教学中，我们常利用几何图形启发、引导学生分析几何图形的特点，从而建立几何概念，理解几何定理，并应用它们解决相关问题. 画出几何图形在几何教学中起着重要的作用，此题的关键是给出的图形决定了其结果的正确性. 慎画几何图形，能培养学生养成良好的数学学习习惯和严谨的科学态度，这也是数学教师的一项基本功！