初中学生直观想象素养的三重境界

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.

在初中阶段的函数学习中，二次函数是相对较难的内容，它与二次式、一元二次方程、一元二次不等式有着紧密联系.二次函数是描述匀变速问题的基本模型，其变化规律、增减性、对称性、最大（小）值、零点等特性很难从函数解析式上观察出来，二次函数图象的延展性、连续性、对称性、顶点、与坐标轴的交点等非常直观地将二次函数在“数”方面的隐性特征外化出来，为二次函数相关问题的解决提供了直观模型.在深入理解函数图象的基础上，借助抛物线的直观形象发现和提出问题、分析和解决问题、探索和形成解题思路往往是解决二次函数相关问题的思维基础.

初中阶段正是学生几何直观和空间观念发展的关键时期，受知识水平、思维能力、活动经验的限制，他们的直观想象能力表现出明显的差异，在利用函数图象解决问题方面表现出不同的层次.

1 看图识图，直接感知

关于直观，西方哲学家普遍认为，直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的直接洞察；徐利治教授认为，直观就是借助于经验、观察所产生的对事物关系的直接的感知与认识.关于直观想象素养，普通高中数学课程标准（2017年版）将其划分为三级水平，水平一的主要表现为：能够在熟悉的情境中，体会图形与数量的关系，能够通过图形直观认识数学问题；能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合.

抛物线是学生熟悉的图形，借助抛物线的直观形象，学生不难直接感知开口方向、对称轴、顶点、抛物线与坐标轴的交点，进一步可以由形到数“读”出函数的增减性、最值、相应方程解的情况或不等式的解集，相关代数式的取值范围，初步体会数与形的联系，这是借助二次函数图象解决问题的第一重境界.

案例1 如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（" ）.

A.a＜0

B.c＞0

C.b2-4ac＞0

D.a-b+c＜0

本题直接给出了函数图象，四个选项的正误可以比较直观地从图象上观察得到，不需要进行太多的推理和计算.

2 想图画图，数形结合

直观想象素养的二级水平的主要表现为：能够在关联情境中，想象并构建相应的几何图形；借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律;能够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义.

二次函数与二次多项式、一元二次方程、二次不等式直接相关，在与二次函数相关联的问题情境中，想象和构造函数图象，运用数形结合思想，通过几何直观和空间想象探寻相关问题的解题思路，描述和解决相关数学问题是借助二次函数图象解决问题的第二重境界.

案例2 若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，-1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（" ）.

A.有两个大于1的不相等实数根

B.有两个小于1的不相等实数根

C.有一个大于1另一个小于1的实数根

D.没有实数根

从“数”的角度看，本题考查一元二次方程根的情况，从“形”的角度思考，实际上是考查抛物线与x轴的交点位置，根据题意画出函数的图象，答案十分明显（选项C正确）.

案例3 若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过点A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（" ）.

A.y1＜y2＜y3

B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1

D.y2＜y3＜y1

本题没有给出二次函数图象，问题中涉及到的字母较多，直接计算y1，y2，y3的值显然费时费力，走入误区.如果仔细审题，发现A与C两点的纵坐标相等，从而得到抛物线的对称轴，画出函数的大致图象，在图象上描出B，D，E三点，再由B（0，y1），D（2，y2），E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2.

案例4 小爱同学学习二次函数后，对函数y＝-（|x|-1）2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图2的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质；

②直接写出方程-（|x|-1）2＝-1的解；

③若方程-（|x|-1）2＝a有四个实数根，直接写出a的取值范围.

（2）延伸思考：

将函数y＝-（|x|-1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝-（|x-2|-1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围.

解析：（1）

①该函数的其中一条性质为“函数图象关于y轴对称”.

②方程-（|x|-1）2＝-1的解为x＝-2或x＝0或x＝2.

③结合图象，若方程-（|x|-1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是-1＜a＜0.

（2）将函数y＝-（|x|-1）2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到函数y1＝-（|x-2|-1）2+3的图象（见图3）.

当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2.

本题背景较为新颖，主要考查学生的数学活动经验和直观想象能力.第（1）问借助图形直观不难解答，第（2）问在比较两个函数解析式的基础上画出平移后的图象，观察图象即可得到问题的解.

3 无图构图，转化建模

前面两种境界都是在二次函数背景下，在熟悉或者关联的情境中运用图象直观解决当前知识范畴之内的问题，以识图解题、构图解题为手段.直观想象素养的最高境界就是在综合复杂的情境中，在理解数学各分支之间联系的基础上，创造性地建立数学的直观模型，综合利用图形与图形、图形与数量的关系解决问题.

案例5 （2021年广东省中考试题节选改编）已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个解，且对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.求a，b，c的值.

分析：本题表面上是二次方程和二次不等式问题，条件比较隐含，但如果跳出不等式范畴，转换视角，用函数观点看不等式，结合函数图象解决问题，则可以柳暗花明.

解析：如图4所示，在同一直角坐标系中画出直线y=4x-12和抛物线y=2x2-8x+6.

容易发现直线与抛物线有唯一公共点（3，0），

除此以外，抛物线y=2x2-8x+6恒处于直线y=4x-12上方.由于对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以当x=3时，

0≤ax2+bx+c≤0.

于是，抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）.

设y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3），则

y＝ax2-2ax-3a.

又ax2-2ax-3a≥4x-12恒成立，即不等式ax2-（2a+4）x+（12-3a）≥0恒成立，所以a＞0且Δ≤0.

整理得（a-1）2≤0，且a＞0，则a=1.

因此容易得到a＝1，b＝-2，c＝-3.

利用函数图象可以验证上述结论正确.

本题将不等式问题转化为函数问题，利用直线和抛物线的直观形象，通过探索抛物线与直线的位置关系来解决不等式问题，体现了几何直观的独特魅力.

数学是研究空间形式和数量关系的科学，“形”和“数”是同一事物的两个不同方面，对数学问题的思考往往需要凭借直观想象.直观想象是以直观表象为思维起点，以数形结合为思维方式，以构建直观模型为创新特点.利用函数图象解决问题，首先要充分认识函数图象的基本特征，学会看图识图，直接感知图象所呈现的基本信息；其次是要学会利用数形结合去思考问题，想图画图，借助图象解决相关联的数学问题；最后就是构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，利用图象描述、分析、解决数学问题，达到借助函数图象解决数学问题的最高境界.