数形结合在“后建构”专题课中的应用

课题信息：江苏省中小学教学研究第十三期重点课题“指向学科核心素养的数学‘后建构’课堂设计研究”，课题编号为2019JK13ZB16；江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“基于核心素养培育的后建构课堂协作学习模式研究”，课题编号为22A00QTJS36；江苏省高校专项课题“基于OBE理念的线性代数混合式教学模式的探究与实践”，课题编号为2022JDKT102；泰州学院教学改革重点课题“‘双减’背景下师范专业人才培养模式的改革与创新”，课题编号为2021JGA02.

摘要：数形结合思想是初中数学教学中常用的一种思想方法.本文中围绕数形结合思想，通过具体的例题剖析，说明数形结合在不同类型的“后建构”专题课中的具体应用——“后建构”代数专题课，借“形”解“数”；“后建构”函数专题课，以“形”助“数”；“后建构”动点专题课，用“形”化“数”.在“后建构”专题课中数形结合可以把复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现数与形的灵活转换，在提高专题复习效益的同时，学生的思维能力也得到了提升.

关键词：数形结合；初中数学；后建构课堂；专题教学

1 问题的提出

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”初中数学教学内容以“数”与“形”两方面为主，它们之间有着十分密切的联系.在一定的条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.数形结合思想是数学教学中常用的一种思想方法.

“后建构”课堂是指在解构学生已有的知识，使之被学生重新认知和接受，并在新的认知情境中进行重组和再构，形成新的认知结构的课堂[1].从专题复习的角度来看，“后建构”专题课更加重视对知识的全面构建与深刻的认识，有助于培养学生的数学基础能力.因此，在“后建构”专题课中根据问题的具体情境，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现数与形的灵活转换，最终获得简便易形的成功方案.在提高专题复习效益的同时，学生的思维能力也得到了提升.本文中通过具体例题的讲解，来阐述数形结合在“后建构”专题课中的应用.

2 数形结合在“后建构”专题课中的应用

2.1 “后建构”代数专题课，借“形”解“数”

对于初中阶段的数学课程，涉及的代数内容主要包括有理数、代数式、不等式以及函数等，在解决这些问题时，通常通过几何的方法，利用图形来解决.

例1 （2021＼5无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2＋PB2＋PC2取得最小值时，下列结论正确的是（" ）.

A.P是△ABC三边垂直平分线的交点

B.P是△ABC三条内角平分线的交点

C.P是△ABC三条高的交点

D.P是△ABC三条中线的交点

分析：如图1，过点P分别向AB，AC作垂线PH，PI.设AH=a，AI=b，则用勾股定理表示出PA2＝a2+b2，PB2＝（6-a）2+b2，PC2＝（8-b）2+a2，

再利用配方法将其转化成PA2＋PB2＋PC2＝3（a-2）2+3b-832＋2003.当a=2，b=83时，PA2＋PB2＋PC2的值最小，此时AI=PH=83，AH=PI=2.由△CIP∽△CAE，求出AE=3=12AB，即E是AB的中点.同理可得F为AC的中点，则P是△ABC三条中线的交点.

显然，学生对于该题一开始无从下手，缺乏数形结合思想中“形”与“数”相互转化的思维能力，未能实现数与形的灵活转换.

例2 已知xgt;0，ygt;0，且x+y=12，求x2+4+y2+9的最小值.

分析：如图2，在线段AB的同侧作MA⊥AB于点A，NB⊥AB于点B，使MA=2，NB=3，AB=x+y=12.由勾股定理，可得MC=x2+4，NC=y2+9，则原题就转变成了求MC+NC的最小值.显然，联想“将军饮马”模型，作点M关于AB的对称点D.当C是DN与AB的交点时，MC+NC有最小值，就是线段DN的长度，从图中很快就能够得到答案是13.

本题是典型的“数形结合”题型中“数缺形”的问题，如果按照纯代数运算很难得出结果.假如构造出与该题相应的图形，那么问题破解就会变得非常轻松.只要稍加耐心仔细观察一下该图，就会有不小收获，并从中品味出数学的美感.

以上两个代数问题，借助（构造）几何图形，能够将抽象的数学语言与直观的图形相结合，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而形成更加直观的数学思维过程，更容易解决数学问题.

2.2 “后建构”函数专题课，以“形”助“数”

对于初中阶段所学习的三种函数即一次函数、反比例函数和二次函数，很多函数题目利用数形结合思想，把函数的图形信息转化为代数信息，减少相关推理的步骤，更易解决问题［2］.

例3 在实数范围内，方程1x=2x2+3有个解.

分析：对于本题，如果按照常规解方程“去分母”的步骤就会转化成一个三次方程，学生已有的知识水平是解不出这个方程的.此时如果联想到方程的左右两边分别是反比例函数y=1x和二次函数y=2x2+3的模型，

只需画出两个函数的草图（如图3），找出交点个数也就是方程的解的个数，这样以“形”助“数”就会显得非常简单直观.

例4 （2020＼5无锡）二次函数y＝ax2-3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为.

分析：由题意得抛物线对称轴为直线x＝32（如图4），设点M的坐标为32，m，需要分两种情况进行分类讨论.①当∠ABM＝90°，过点B作BD垂直对称轴于点D，则∠OBA＝∠2，于是tan∠2＝tan∠OBA＝2，即DMBD＝2，则DM＝3，因此M32，6；

②当∠M′AB＝90°，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，则tan∠1＝M′NAN＝tan∠OBA＝2，求出M′N＝9，则M′32，-9.综上，点M的坐标为32，6和32，-9.

本题考查二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及解直角三角形，有一定的综合性.由于题目没有给出函数图象，需要通过分析题意求出二次函数的对称轴画出图象，给解题增加了不小的难度.通过例4，学生要能对二次函数图象有充分的认识，这样能更轻松地解答出让大多数学生头疼的二次函数问题.所以说，数形结合能够在数学学习中占据如此重要地位，就因为它绝对能够帮助中学生锻炼和提升数学思维和数学能力.

2.3 “后建构”动点专题课，用“形”化“数”

在实际教学过程中，学生一碰到“动点”就会非常头疼，总觉得动点问题很难，云里雾里.其实，关键要抓住“数形结合”的本质，通过数学问题寻找数量关系，构建函数模型，利用数形结合，解决（最值）问题.

例5 （2020＼5苏州）如图5，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8 cm.动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1 cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ，交OT于点B.经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC.设运动时间为t s，其中0lt;tlt;8.（1）求OP＋OQ的值.（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

分析：（1）由题意，得OP=8-t，OQ=t，0＜t＜8，则OP+OQ=8-t+t=8.

（2）过点B作BG⊥OP于点G，设BG=OG=x，则OB=2x，证△PBG∽△PQO，得到PGPO=BGQO，

即8-t-x8-t=xt，得到x=－18t2+t，则OB=2x=－28（t-4）2＋22，

故当t=4时，OB的最大值为22.

结合以上三类问题的解决，可归纳总结出利用数形结合解决问题的思维导图（图6）.

3 结语

综上所述，专题复习课不是原有知识的简单重复，而是更高层次上知识的整合［3］，初中数学离不开数与形，“后建构”专题复习课借助数形结合思想贯穿整个数学知识体系的始终，深入到数学的每一个角落.它通过借“形”解“数”、以“形”助“数”、用“形”化“数”，把刻画数量关系的“数”和具体直观的“形”有机结合起来，从而帮助学生形成一条“有形—想形—用形—画形—造形—辅形”的思维链，因此，在“后建构”专题课中教师要时刻引导学生进行数与形的转化与迁移.让数形结合从方法变成一种思想，由思想成为一种能力［4］，而这种能力一旦被学生掌握，在他们面前就会呈现出一个精彩纷呈的数学世界.

参考文献：

[1]薛莺.初中数学后建构课堂教学的内涵、设计与原则[J].中学数学杂志，2022（2）：15-18.

[2]夏炳文.关于数形结合的一点思考[J].高中数学教与学，2016（13）：47-48.

[3]叶红.积累数学活动经验，提升学生核心素养——初中数学综合实践活动的探索[J].江苏教育，2016（51）：70-71.

[4]沈文选.中学数学思想方法[M].长沙：湖南师范大学出版社，1999：184-187.